7) ∫y+dk=f-d+「 dx 当p=q时,显然积分一发散 当p≠q时,由于 (x→>+∞), x+ x max(P, q) 所以当mn(P,q)<1,且max(p,q)>1时积分∫ dx收敛,其余情况 xP+x 下积分∫ dx发散 xpx (8)设p>1,则对任意的q,当x充分大时,有 因为 P+11,可知积分}2m收敛 设p<1,则对任意的q,当x充分大时,有 因为 P+1 P+<1,可知积分 dx发散 Xn x 设p=1,令nx=,则一1。d=J边,由此可知当p>1或 p=191时积分x1m在收敛,在其余情况下积分x1m2 发散。 9.讨论下列反常积分的敛散性: (2)∫ xq sinx (p≥0) e coSx（7） 1 0 x x dx p q + +∞ ∫ ∫ + = 1 0 1 dx x x p q ∫ +∞ + + 1 1 dx x x p q 。 当 p = q 时，显然积分 1 0 x x dx p q + +∞ ∫ 发散； 当 p ≠ q时，由于 p q x + x 1 ～ min( , ) 1 p q x (x → 0+) ， p q x + x 1 ～ max( , ) 1 p q x (x → +∞)， 所以当min( p, q) < 1，且max( p, q) > 1时积分 1 0 x x dx p q + +∞ ∫ 收敛，其余情况 下积分 1 0 x x dx p q + +∞ ∫ 发散。 （8）设 p > 1，则对任意的q，当 x充分大时，有 2 1 1 ln 1 + < p q p x x x ，因为 1 2 1 > p + ，可知积分∫ +∞ 2 ln 1 dx x x p q 收敛。 设 p < 1，则对任意的q，当 x充分大时，有 2 1 1 ln 1 + > p q p x x x ，因为 1 2 1 < p + ，可知积分∫ +∞ 2 ln 1 dx x x p q 发散。 设 p = 1，令ln x = t，则∫ +∞ 2 ln 1 dx x x p q ∫ +∞ = ln 2 q t dt ，由此可知当 或 时积分 p > 1 p = 1, q > 1 ∫ +∞ 2 ln 1 dx x x p q 收敛，在其余情况下积分∫ +∞ 2 ln 1 dx x x p q 发散。 ⒐ 讨论下列反常积分的敛散性： ⑴ x x dx p− +∞ + ∫ 1 0 2 1 ; ⑵ x x x dx q p sin 1 1 + +∞ ∫ ( p ≥ 0 ); ⑶ ∫ +∞ 0 sin e cos dx x x p x ; ⑷ ∫ +∞ 0 sin e sin 2 dx x x p x ; 290