解析函数与调和函数 定理函数f(z)在区域D内解析，则其实部u(x,y)和虚部v(x,y)均在 D内调和，其中v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数. 证明因f(z)解析，故无穷次可导，从而其实部u(x,y)和虚部v(x,y) 也无穷次可偏导.再由Cauchy-Riemann方程 △u= 品 =0; △ =0. 问题对区域D内的调和函数u(x,y),是否存在其共轭调和函数v(x,y)? 解析函数与调和函数 定理 函数 𝑓(𝑧) 在区域 𝐷 内解析，则其实部 𝑢(𝑥, 𝑦) 和虚部 𝑣(𝑥, 𝑦) 均在 𝐷 内调和，其中 𝑣(𝑥, 𝑦) 称为 𝑢(𝑥, 𝑦) 的共轭调和函数． 证明 因 𝑓(𝑧) 解析，故无穷次可导，从而其实部 𝑢(𝑥, 𝑦) 和虚部 𝑣(𝑥, 𝑦) 也无穷次可偏导．再由 Cauchy-Riemann 方程， 𝚫𝑢 = 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑦 − 𝜕𝑣 𝜕𝑥 = 0； 𝚫𝑣 = 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑥 − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 0． 问题 对区域 𝐷 内的调和函数 𝑢(𝑥, 𝑦)，是否存在其共轭调和函数 𝑣(𝑥, 𝑦)？