f(m=f( k iv)→i)矩阵(a1…g…a…an)不满秩,则f(a,…a,…,a,…an)=0 1)→i)若f( )=0,则 f(a B,…a+B…an)=0 于是 B f(a12…,B, 0 则有f(a1…,a,…,B,…,an)=-f(a1…,B…a,…an)。证毕 定义函数∫:Mn(K)→K被称为一个行列式函数,当且仅当∫满足下列3条性质 1、∫列线性; 、∫反对称 3、f(E)=1 233行列式函数的存在性与唯一性 引理设∫和g为烈现行反对称函数,A,B∈M(K)。则若经过相同的初等列变换化 为A和B,则 f(A)=g(A)兮f(A)=g(B1)。 证明由初等变换的可逆性,只需证“→”。只需分别对三类基本初等列变换进行证明。 定理行列式函数存在且唯 证明首先证明若行列式函数存在,则唯一。设∫,g:Mn(K)→>K是行列式函数,若 A不满秩,则∫(A)=0=g(4);若A满秩,则A可以经过初等列变换化为E f(E)=1=g(E),于是由引理f(A)=g(A),即∫和g在Mn(K)上取值相等,于是 f∫=g。唯一性证毕。 再证明行列式函数的存在性。定义函数det如下:设A=(a1)∈M1(K),定义 -d 设在集合Mn1(K)内函数det(A)已定义,那么,对 定义de4)=a1M1-a1M12+…+(-1)“anM12=∑a14}其中M表示划去A的第1 1 ( ) ( , , , , ) 0 n j j n j j i f M f k    =  = =  。 iv）  ii） 矩阵 (    1 n ) 不满秩，则 1 ( , , , , , , ) 0 n f     = 。 ii）  i） 若 1 ( , , , , , , ) 0 n f     = ，则 1 ( , , , , , , ) 0 n f       + + = ， 于是 1 1 ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) 0 n n f f         + = ， 则有 1 1 ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) n n f f         = − 。证毕 定义 函数 : ( ) n f M K K → 被称为一个行列式函数，当且仅当 f 满足下列 3 条性质： 1、 f 列线性； 2、 f 反对称； 3、 f E( ) 1 = 。 2.3.3 行列式函数的存在性与唯一性 引理 设 f 和 g 为烈现行反对称函数， , ( ) A B M K  n 。则若经过相同的初等列变换化 为 A1 和 B1 ，则 1 1 f A g A f A g B ( ) ( ) ( ) ( ) =  = 。 证明 由初等变换的可逆性，只需证“  ”。只需分别对三类基本初等列变换进行证明。 定理 行列式函数存在且唯一。 证明 首先证明若行列式函数存在，则唯一。设 , : ( ) n f g M K K → 是行列式函数，若 A 不满秩，则 f A g A ( ) 0 ( ) = = ；若 A 满秩，则 A 可以经过初等列变换化为 E ， f E g E ( ) 1 ( ) = = ，于是由引理 f A g A ( ) ( ) = ，即 f 和 g 在 ( ) M K n 上取值相等，于是 f g = 。唯一性证毕。 再证明行列式函数的存在性。定义函数 det 如下：设 A a M K =  ( 11 1 ) ( ) ，定义 11 det( ) A a = ； 设在集合 1 ( ) M K n− 内函数 det( ) A 已定义，那么，对 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) n n n n n nn a a a a a a A M K a a a       =        ， 定义 1 11 11 12 12 1 1 1 1 1 det( ) ( 1) . n n n n i i A a M a M a M a A i + =   = − + + − =      其中 Mij 表示划去 A 的第