(2)lim(bn-an)=0。 证明存在唯一的实数ξ属于所有的开区间(an,bn),且ξ=lim b n→① 13.利用 Cauchy收敛原理证明下述数列收敛: (1)xn=a0+a1(+a2q2+…+anq"(lql<1,lakl≤M) 14.(1)设数列{xn}满足条件lm|xn+1-xn|=0,问{xn}是否一定是基本数列。 (2)设数列{xn}满足条件|xn+1-xn1<on(n=1,2,3,…)。证明{xn}是基本数列。 5.对于数列{xn}构造数集A4: 记 diam a=Sup{lxn-xnl,xn∈Ak,xm∈Ak},证明数列{xn}收敛的充分必要 条件是 lim diam Ak 16.利用 Cauchy收敛原理证明:单调有界数列必定收敛。(提示:采用反证法(2) lim ( n→∞ bn − an )=0。 证明存在唯一的实数ξ 属于所有的开区间( an ,bn )，且ξ = lim = 。 n→∞ an lim n→∞ bn 13. 利用 Cauchy 收敛原理证明下述数列收敛： (1) xn = a a q a q an q (｜ ｜＜1，｜ ｜≤ n 0 1 2 2 + + +"+ q ak M )； (2) x = n 1 1 2 1 3 1 11 − + − + − " + ( ) n n 。 14. (1) 设数列{ x }满足条件 | n lim n→∞ xn+1 n − x | = 0，问{ xn }是否一定是基本数列。 (2) 设数列{ xn }满足条件｜ xn+1 n − x ｜＜ 1 2n （n = 1 2, ,3,"）。证明{ xn }是基本数列。 15. 对于数列｛ xn ｝构造数集 Ak ： Ak = { xn ｜n ≥ k }={ xk , xk +1 ,…}。 记 diam Ak = sup {｜ xn − xm ｜， xn ∈ Ak , xm ∈ Ak }，证明数列{ }收敛的充分必要 条件是 xn lim k→∞ diam Ak = 0。 16. 利用 Cauchy 收敛原理证明：单调有界数列必定收敛。(提示：采用反证法)。 7