·34· 中国管理科学 2006年 础上，给出了模型结构参数的贝叶斯分析：针对传统 年提出了著名的Buhlmann一Straub模型。该模型 模型中对结构参数无偏估计的不足，引人基于 由多个独立且具有相同结构函数的Buhlmann单合 Gibbs抽样的MCMC理论，构建出数据缺失条件下 同模型嵌套组成，并被视为Buhlmann单合同模型 改进的Buhlmann-Straub模型；最后，以某保险公 的推广与细化)。 司车险经验费率的厘定为例，证明了该模型在经验 假设已掌握第i个(i=1,…,n)的投保人（或 费率厘定中甄别保单组合数据的非同质程度的直观 保单组合)过去T:年的历史赔付数据Y,(G=1, 有效性，并为我国学者在该领域的进一步研究奠定 …,T),且具有不可测的风险参数日（风险参数日 良好的基础。 的不同取值日：用以反映同类风险中的不同风险特 2 Buhlmann-Straub模型及参数估计 征；例如2】在汽车保险中，可以用不同的0：区分不 同的；个车队中司机的平均驾驶技巧、年龄等风险 “现代信用理论之父”Bailey首次将贝叶斯方法 特征)其中，观测值Y,相互独立；不可测的风险参 引入到信用理论之中，是提出最精确信用模型的先 数日：通过Y,加以反映，并由此被称为结构参数；由 驱者；现代信用理论的最终形成则是瑞士精算学家 于保单数目可能随时间变化，将观测值Y,视为第j Buhlmann的功绩，他将参数的贝叶斯估计限制在观 年的某个比例型变量，从而存在某以自然权重w于 测值的线性组合的范围内，不仅便于计算，也利于解 之对应。综上，Buhlmann-Straub模型的数据结构 释。由于经典的Buhlmann模型没有考虑保单组合 如下： 可能随时间变化的情形Buhlmann与Straub于1970 表1 Buhlmann一Straub模型的数据结构 投保人 可观测变量 风险参数 第一年 第二年 4 第j年 第T:年 0 y1(w1r》 y12(w12) y1(wy） y1r（w1T,） 8 y:(w1) y(w2) y(如g) T.(awr,） 6。 yni(uni） ye2（w2） yn(w） t.（w,） 对于第i个投保人，令： a(0)=E(Y/⊙=)，u(0)=Var(Y/g=0) 、￥。37.0=%化.) u=E[a(8)],y=E[u(8)],a=Var[μ(8)] 2. (T,-) w=ω1+w2+…+wT a=（w.- ⊥2m.）1 利用条件期望的有关性质，易得： i-I E(Yr.)=E[E(Yr./⊙=)]=E[a(8)]=H ×[2.(.-Y.2-u(n-10] Var(YT.)=E[Var(YT./0=0] 不难看出，求解传统Buhlmann-Straub模型的 Var[E(YT./00)] 关键是求出u,v与a。 =E[u(8)/w,]+Var[u()]=v/w+a 3 Buhlmann-Straub模型的贝叶斯分析 则，得出第i个投保人次年的Buhlmann-Straub信 用保费形式如下： 为了估计第i个投保人第T,+1年的公平保费 Y:1,假设在风险参数日，条件下的保费Ym=Y1, Yi1=Z,Y,+(1-Z,)μ Y2…,Yj+1(简记为Y=Y1,Y2…,Y,1)相互独 其中： T T. 立且Y,=y,记条件密度函数为fy,19(y10),考虑 .=￡ww.=三.=习三wi 到结构参数日依赖于观测值y,记0的先验分布为 j=1 i1 4*听=1 Z:= +2=含 π()，则Y1,…,Y的联合密度函数为： f￥，e(y,8)=f(y1,…,y/8)π(8) T 卫.=三gy了.=含.； T. j=10. =10. =[,/yo(y0)J]x(9) 万方数据·34· 中国管理科学 2006焦 础上，给出了模型结构参数的贝叶斯分析；针对传统 模型中对结构参数无偏估计的不足，引入基于 Gibbs抽样的MCMC理论，构建出数据缺失条件下 改进的Buhlmann—Straub模型；最后，以某保险公 司车险经验费率的厘定为例，证明了该模型在经验 费率厘定中甄别保单组合数据的非同质程度的直观 有效性，并为我国学者在该领域的进一步研究奠定 良好的基础。 2 Buhlmann—Straub模型及参数估计 “现代信用理论之父”Bailey首次将贝叶斯方法 引入到信用理论之中，是提出最精确信用模型的先 驱者；现代信用理论的最终形成则是瑞士精算学家 Buhlmann的功绩，他将参数的贝叶斯估计限制在观 测值的线性组合的范围内，不仅便于计算，也利于解 释。由于经典的Buhlmann模型没有考虑保单组合 可能随时问变化的情形Buhlmann与Straub于1970 年提出了著名的Buhlmann—Straub模型。该模型 由多个独立且具有相同结构函数的Buhlmann单合 同模型嵌套组成，并被视为Buhlmann单合同模型 的推广与细化r1|。 假设已掌握第i个(i=1，…，咒)的投保人(或 保单组合)过去t年的历史赔付数据y“J=1， …，t)，且具有不可测的风险参数O(风险参数@ 的不同取值0i用以反映同类风险中的不同风险特 征；例如L2j在汽车保险中，可以用不同的0i区分不 同的i个车队中司机的平均驾驶技巧、年龄等风险 特征)。其中，观测值■i相互独立；不可测的风险参 数0i通过y；，加以反映，并由此被称为结构参数；由 于保单数目可能随时间变化，将观测值y；i视为第歹 年的某个比例型变量，从而存在某以自然权重％于 之对应。综上，Buhlmann—Straub模型的数据结构 如下： 表1 Buhlmann—Straub模型的数据结构 投保人 1 风险参数——焉F_F————磊j五_—————_j!翌型銮弓矿厂军—————__—————万 0l yil(∞“) y12(叫12) Ylj(叫lJ) Yl rf(叫1t) j ； j ! j ； i ； i 0。 Nil(∞il) Yi2(Ⅲf2) i ，Ⅱ(。。) ； YiTi(；(OiTi) ： ! ! ； ! ； i ”0。 y们((u。J) Yn2(叫。：) yw(甜w) y—Tf(埘“T。) 对于第i个投保人，令： f户(0)=E(Y／O=0)，u(0)=Vat(Y／O=0) {M=E[p(0)]，v=E[u(0)]，日=Var[户(0)] ． 【cu=叫，+cU：+…+叫t 利用条件期望的有关性质，易得： fE(YT)=E[E(Yr／0=0)]=E[户(0)]=产 Var(Y1')=E[Vat(Yr／0=0] +Var[E(Y丁／0=0)] 【 =E[u(口)／％]+Var[户(口)]=口／屿+盘 则，得出第i个投保人次年的Buhlmann—Straub信 用保费形式如下： yi，Hl=Ziyi+(1一Zi)p 其中： 一 。 。丁。 ∞i．2 j善cc，Ⅱ；CO 2 i善叫i．=。手。，蚤山。； zi=点；z．=i兰zi； yi．：奎塑y“一Y．．：圭!生yi．； j=1 ctJi 。 i=1叫 ：=V：=。耋萎{丫i．；：=耋i至筹 d 2∞．．一÷。蚤∞；．)。1 ×[三叫i．(可i．一一Y．．)2一u(，?一1)] 不难看出，求解传统Buhlmann—Straub模型的 关键是求出岸，u与倪。 3 Buhlmann—Straub模型的贝叶斯分析 为了估计第i个投保人第t川．年的公平保费 y㈠…假设在风险参数0i条件下的保费Yi。=Y… yi2…，yi刖l(简记为一=yI，Y2…，y，+1)相互独 立且Yt=y。，记条件密度函数为^1 e(Y。l 0)，考虑 到结构参数口依赖于观测值Y，记0的先验分布为 ，r(口)，则y1’．一，yi的联合密度函数为： fy。e(y，0)=f(y1，…，yj／0)丌(0) t ：『Ⅱ[fY／e(Yj／0)]]7r(0) 万方数据