第2期 林静等：基于MCMC稳态模拟的贝叶斯经验费率厘定信用模型 ·35· Y的联合密度函数为： 复杂难于计算，此时采用蒙特卡罗积分进行近似，即： fv(y)=Fy,/o(w./0)](0)d0 E[h(U)]≈1(Ue) n-1 Y1,…,Y,+1的联合密度函数为： 当U1,…,U相互独立时，由大数定律可知，样 本容量n越大，其近似程度越高。但在很多复杂模型 fymy(Y1…,Yit1）= [fy/a(y9)]· 中，并不能简单地对U1,…,U做出相互独立的假 π(8)d8 设，这就需要使用MCMC稳态模拟方法。MCMC 给定Y=y条件下Y,+:的条件分布为： 模拟本质上是使用马尔可夫链的蒙特卡罗积分，基 I[fy,e(y/0)]·x(0)d0 本思想是：建立马尔可夫链对未知变量进行抽样模 fy(1/y)= Ji-1 拟，当链达到稳态分布时即得所求的后验分布。基 fy(y) 又因给定Y条件下⊙的条件分布为： 于贝叶斯推断原理的MCMC方法主要用于产生后 fr.e(y,0) 验分布的样本，计算边缘分布以及后验分布的矩。 r8/y(0/y）= fy(y) 不同的抽样方法导致了不同的MCMC方法，Gibbs 抽样是其中最简单也是应用最广泛的一种。 n[fx,va(y/0)]·π(0)d0 (1) Gibbs抽样过程属于马尔可夫更新机制的范 fy(y) 畴。在上述假设条件下，令U:代表某种随机变量 则，(1)式可化为： 或同组的几个随机变量；第j组变量的边缘分布为 .y=上a10en(8a0 U,)。给定任意初始向量Uo)=(U),…, fy(y) U),我们由(U11U),…,U)中抽取样本 -fv(/0)av(0/y)d0 U;由(U21U,U,…,U)中抽取样本 值得注意的是，当日已知时： U0;由f(U1U,…,U丹，U9,…,U抽 *1(8) E(Yj+1/0 8) 取样本U;并由f(Us1U,U,…,U)抽 y(0)dy =E(Y)= 取样本U；由上即完成了由Uo)到U)= (U),…,U)的转移。经过t次迭代，可以得到 E[E(Y+1/Θ=8)]=E[4+1(0)]可得：H为6的 U)=(U,…,U),并最终得到U,U2), 均值。由于日未知，我们利用可观测值Y对Y)+1进 U3),…。易证：由不同的U0)出发，当t→∞，在遍 行估计，其中： 历条件下，可以认为各时刻U)的边际分布为平稳 E(Yn/Y =y)=fe()dv1 分布，此时它收敛，并可以被看作是样本的仿真观测 点。而在收敛出现前的次迭代中，各状态的边际 =+1(0)πe/r(0/y)d 分布还不能认为是π(U),因此在估计E[h(U)] 综上，Buhlmann-Straub模型的贝叶斯求解关 时应将前m个迭代值去掉，即： 键在于对结构参数条件分布π91y(81y)进行积分。 然而，基于传统的高维数值积分方法很难得出参数 Ea(u1=空Auo） 的联合后验分布。本文中，我们将利用MCMC方法 在Buhlmann-Straub模型中，设： 得出参数联合后验分布的抽样，以解决高维数值积 Yg=H+e=（μ+a;）+E 分的因难。 其中，假定：（1)a;与e相互独立且E(a:)=0, 4基于Gibbs抽样的MCMC模拟分析 Var(a;)=a2,E(E)=0,Var(ei)=a;(2)Yi 服从均值为：，方差为σ/w的正态分布；(3)4服 设k维随机向量U=(U1,…,U:)具有联合分 布π(U1,…,U),其中，U:(i=1,…,k)为模型参 从均值为4，方差为π的正态分布；(4)σ与σ均具 数或缺的的观测值，π(·)为其后验分布。则对于我 有无先验信息分布；(5)特别地，按实际应用的需要 们感兴趣的函数h(U)的数学期望为：E[h(U)]= 假设：的先验分布为某一常数。令π(·)代表有关参 数的先验分布，则： h(u)π(u)du/(π(u)du),由于该积分往往形式 π（μ/a,o2,o) 万方数据第2期 林静等：基于MCMC稳态模拟的贝叶斯经验费率厘定信用模型 ·35· y的联合密度函数为： 复杂难于计算，此时采用蒙特卡罗积分进行近似，即： r 1i 、fv(Y)2 jj璺[^，8(yr朋)]’丌(8)枷 yl，…，L+1的联合密度函数为： ^。，…l+。(Y1'．一，E+，)2 j引fYj／O(∞朋)]· 7r(a)da 给定Y=Y条件下y州的条件分布为： l盯[^／8(y／口)]·丌(9)dO fY+I／Y(舶／y)=妞—L焘万一 又因给定y条件下0的条件分布为： 嘶Y(O／y，=每铲 ：坦生：坐掣：型竺 — v(y) (1)f ¨7 则，(1)式可化为： 咖c舶咖垃堕等掣 =．I fvT+I／O(YT+I／0)，re／y(O／y)dO 值得注意的是，当0已知时： 一+1(曰) = E(匕+I／O = 疗) = j∞+1■+l／8(∞+l／e)ayj+1且卢2 E(匕+1)= E[E(y¨／@=口)]=E[p，+l(口)]可得：卢为0的 均值。由于0未知，我们利用可观测值Y对yHl进 行估计，其中： E(V+1／Y 2 y)。JYj+l■+,lo(ys+I／O)dyjtl =I所+l(口)丌。／y(O／y)dO 综上，Buhlmann—Straub模型的贝叶斯求解关 键在于对结构参数条件分布丌@I y(0 y)进行积分。 然而，基于传统的高维数值积分方法很难得出参数 的联合后验分布。本文中，我们将利用MCMC方法 得出参数联合后验分布的抽样，以解决高维数值积 分的困难。 4基于Gibbs抽样的MCMC模拟分析 设k维随机向量U=(U1，．一，U^)具有联合分 布兀(Ul，…，U)，其中，Ui(i=1，…，k)为模型参 数或缺的的观测值，丌(·)为其后验分布。则对于我 们感兴趣的函数h(U)的数学期望为：E[h(U)]= l h(H)7r(甜)du／(I丌(“)du)。由于该积分往往形式 E[h(u)]≈土∑h(u(t’) H·=1 当U1’．一，U^相互独立时，由大数定律可知，样 本容量1／越大，其近似程度越高。但在很多复杂模型 中，并不能简单地对U1'．～，氓做出相互独立的假 设，这就需要使用MCMC稳态模拟方法。MCMC 模拟本质上是使用马尔可夫链的蒙特卡罗积分，基 本思想是：建立马尔可夫链对未知变量进行抽样模 拟，当链达到稳态分布时即得所求的后验分布。基 于贝叶斯推断原理的MCMC方法主要用于产生后 验分布的样本，计算边缘分布以及后验分布的矩。 不同的抽样方法导致了不同的MCMC方法，Gibbs 抽样是其中最简单也是应用最广泛的一种。 Gibbs抽样过程属于马尔可夫更新机制的范 畴。在上述假设条件下，令Ui代表某种随机变量 或同组的几个随机变量；第歹组变量的边缘分布为 厂(uj)。给定任意初始向量U(o)=(ui∞，…， ulo’)，我们由f(Ul u严’，…，u护’)中抽取样本 【，{1’；由f(U2 u{¨，u5叫，…，u(0’)中抽取样本 u11’；由／(uj f己，i¨，…，u；冀，u50j，…，己，lo’)抽 取样本u：1’；并由厂(UI ui¨，ui¨，…，u101)抽 取样本L，11’；由上即完成了由u(o)到u(1)= (【，；¨，…，u铅’)的转移。经过t次迭代，可以得到 u(r)=(vl“，…，u铝’)，并最终得到u(¨，u(扪， U(3)，…。易证：由不同的U(o’出发，当t—oo，在遍 历条件下，可以认为各时刻U“)的边际分布为平稳 分布，此时它收敛，并可以被看作是样本的仿真观测 点。而在收敛出现前的刀z次迭代中，各状态的边际 分布还不能认为是71"(U)，因此在估计E[^(U)] 时应将前一z个迭代值去掉，即： 1 ” E[h(【，)]≈—上一乏：h(u(‘’) lL—r’lptn}1 在Buhlmann—Straub模型中，设： YO=卢i+e玎=(卢+ai)+￡巧 其中，假定：(1)ai与￡i，相互独立且E(口i)=0， Var(口i)=d2。，E(e“)=0，Vat(￡i，)=d；；(2)Yi， 服从均值为Pf，方差为盯：／coi，的正态分布；(3)∥i服 从均值为卢，方差为r的正态分布；(4)仃2。与盯：均具 有无先验信息分布；(5)特别地，按实际应用的需要 假设／l的先验分布为某一常数。令7l"(·)代表有关参 数的先验分布，则： 丌(．￡￡／口，盯2。，口：) 万方数据