此外(x,x)=1,VxE,称E为规范正交集 容易知道,x⊥y则y⊥x,x⊥x当且仅当x=0.对于任意集合 M,N=H,若M⊥N,则M⌒NcO0 定理1设H为内积空间,EcH为正交集则对于E中任意有限 多个元x1…xn和a1…On∈Φ, ax+a2x2+…+anx1|≤a1|x+…+a1|x 从而若E不包含0元,E是线性无关集 证明由正交性 ax+…+anxn=(a1x+…+anx,a1x+…+anx) ∑(a1x1ax) a|2|+*…+kan}n 当x,≠0(=1,…n)时,若a1…,an不全为0,则|ax+…+anx 0 定理2设H是内积空间,EcH是规范正交集,x∈H,则 (1)对于任一组e1,…en∈E, xe)≤ (2)数集{x,e):e∈E}中至多有可数多个不等于0 证明1°设x=∑(x,e)e,则 0<x-x=(x-xm, x-x,) (x, x,)-(xn,x)2 此外 (,) 1 x x = ,∀x ∉ E, 称 E 为规范正交集. 容易知道, x ⊥ y 则 y ⊥ x , x ⊥ x 当且仅当 x = 0 . 对于任意集合 M , N ⊂ H , 若 M ⊥ N , 则 M N ∩ ⊂ {0}. 定理 1 设 H 为内积空间, E ⊂ H 为正交集.则对于 E 中任意有限 多个元 1 x n ,⋅⋅⋅, x 和 , , , α1 ⋅⋅⋅ α n ∈Φ 2 11 2 2 n n αα α xx x + +⋅⋅⋅+ ≤ 22 2 2 1 1 n n α α x +⋅⋅⋅+ x . (4-1-1) 从而若 E 不包含 0 元, E 是线性无关集. 证明 由正交性 2 1 1 n n α α x +⋅⋅⋅+ x ( 1 1 11 , ) nn nn = +⋅⋅⋅+ +⋅⋅⋅+ α αα α x xx x ( , 1 , ) n ii jj i j α α x x = = ∑ 2 2 2 1 2 1 n n = α x + ⋅⋅⋅ + α x . 当 x 0(i 1, ,n) i ≠ = " 时 , 若 α α n , , 1 " 不全为 0 , 则 1 1 n n α α x +⋅⋅⋅+ x ≠ 0, 即 1 1 α x n n +⋅⋅⋅+α x ≠ 0. 定理 2 设 H 是内积空间, E ⊂ H 是规范正交集, x ∈ H, 则 (1) 对于任一组 , , , e1 " en ∈ E 2 2 1 (x,e ) x i n i ∑ ≤ = . (4-1-2) (2) 数集 { } (x,e) : e ∈ E 中至多有可数多个不等于 0 . 证明 D 1 设 1 (, ) , n n ii i x xe e = = ∑ 则 0 ( , ) 2 n n n ≤ x − x = x − x x − x 2 2 ( , ) ( , ) n n n = x − x x − x x + x