第3期 赵然等：楔横轧窄台阶轧齐曲线的微分方程解法 361· 描述转动关系的参数.轧齐过程某时刻轧辊轧件的 2.2方程求解 旋转关系如图4所示.经过时间dt轧辊继续转动 由于微分方程式(9)右边十分复杂，显然求解 一个微小的角度d0,与此同时对应的轧件被带动转 通解是不可能的，因此需要利用数学软件求解定义 动一个角度d如.由于这两个转角无穷小，因此必定 域区间数值解.本文利用Matlab软件中微分方程求 存在如下关系： 解器，一般来说ODE45是大多数微分方程第一次 dip=wodt=dt=we(Rc-ndt =Rc-rk do. 求解的最佳选择，它是一个基于龙格-库塔公式的 Tk Tk 单步求解器，求解方法是首先对微分方程离散化， (6) 建立求数值解的递推公式，并利用单步法依次求解 式中，we为轧件转速函数，w0为轧棍转速函数，v n+1.该命令行为9-10 为等速圆的线速度函数.图4中R为轧辊外径. [t,Y]=ode45(odefun,tspan,y0). (10) R 式中：参数t为自变量：参数Y为函数值：参数 轧件 odefun为方程表达式，一阶微分方程为微分项显函 ⑧ 数形式，可表示为y=f(t,):参数tspan为自变 量范围；参数0为微分方程初值，表示为D(O)=0. 对于微分方程式（⑨），只需函数F(P,D(p)八、G(p) 和J（()表达式存在，即可利用求解器求解出微分 方程. 对于式(1)中体积修正函数G(),最佳表达式 轧辊 应为G(p,D(p),但是由于修正体积函数中如果引 入偏移量D,会使其导数函数G(p)中存在D1项， 等速圆 使微分方程无法得到显函数形式.因此体积修正函 数采用G(p)函数形式表述.换句话说，对于修正 图4轧辊轧件转动关系示意图 部分的体积，未考虑轧齐曲线部分的影响，由于修 正体积相对于螺旋锥体体积非常小，因此该简化对 Fig.4 Diagrams of rolling relationships between the roller 结果影响较小. and workpieces 2.3转动关系 令转速比6=wp/uwg=(Ro-rnk)/rk,因此轧辊 转动关系利用轧件轧辊转速比函数6（Θ）表达， 轧件微转角关系为 由于该函数影响原因非常复杂，与接触区形状、边 界条件和摩擦力分布等复杂变量相关，目前还不能 dp=6dθ. (7) 给出理论公式.因此，本文参考转速比实测研究中 所得数据1，作如下假设：令楔入瞬间转速比为无 2微分方程建立及求解 穷小，应用中取值B=10-3:令轧齐第三阶段及精 2.1微分方程建立 整过程转速比为定值s=(Rc-r1)/r1:令整个过 根据因素关系图1(b)以及关系函数表达式，联 程转速比线性递增.因此想要确定转速比数值，需 立式(1)式(2)、式(4)和式(7)得到如下形式函数 要首先确定轧齐开始时刻的楔入过程转角.楔入开 式： 始至轧齐结束转速比公式可表示关于轧辊转角的函 数： w.D(p))dvp+AvG(p)-D(p) 60)=6s-6B0+iB. 式中，Av=2/πr,J(p)=(Y%-R∫(0)d8- 式中，E为轧齐第二阶段结束时轧辊转角，应用中 L1)tan B. 由于式（⑧）中各函数均为连续函数，可对其左右 近似取值(L1+L2)/Ro,L2为展宽段长度 2.4程序流程图 分别求导，并整理可得关于偏移量D的微分方程： 由于轧齐曲线的递归函数属性，整体求解以半 D'(p)=AvF(,D(p)+AvG'(p)-J'(p).(9) 周为单位采用迭代法求解。首先需要判定楔入轧齐第 期 赵 然等 楔横轧窄台阶轧齐曲线的微分方程解法 · · 描述转动关系的参数 轧齐过程某时刻轧辊轧件的 旋转关系如 图 所示 经过 时间 亡轧辊继续转动 一个微小的角度 , 与此同时对应的轧件被带动转 动一个角度 沪 由于这两个转角无穷小, 因此必定 存在如下关系 沪 公沪 二 竺 丝巡二工业 。 一 , 。 — 口 式中, 。, 为轧件转速 函数 , 吻 为轧棍转速函数 , 为等速 圆的线速度函数 图 中 为轧辊外径 方程求解 由于微分方程式 右边十分复杂 , 显然求解 通解是不可能的, 因此需要利用数学软件求解定义 域区间数值解 本文利用 软件中微分方程求 解器 , 一般来说 是大 多数微分方程第一次 求解的最佳选择 , 它是一个基于龙格 一库塔公式的 单步求解器 , 求解方法 是首先对微分 方程离散化 , 建立求数值解 的递推 公式, 并利用单步法依次求解 纵 该命令行为 ”一 , 哈一一一一一 叹 ,洲、十囚 , 』 , ,加 · 图 轧辊轧件转动关系示意图 令转速比占 。, 山。 一 , 因此轧辊 轧件微转角关系为 沪 二 占 微 分方 程 建立 及 求解 微分方程建立 根据因素关系图 以及关系函数表达式 , 联 立式 、式 、式 和式 得到如下形式函数 式 ·关沪,, ” , ` , 、 ·, 一” , 十` , · 式中, 二心, 司 一 占 一 口 由于式 中各函数均为连续函数, 可对其左右 分别求导, 并整理可得关于偏移量 的微分方程 式中 参数 艺为 自变量 参数 为函数值 参数 为方程表达式, 一阶微分方程为微分项显函 数形式, 可表示为 犷 二 艺,功 参数 为 自变 量范围 参数 为微分方程初值 , 表示为 对 于微分方程式 , 只需函数 仲, 司 、 ' 树 和 ' 叻 表达式存在 , 即可利用求解器求解出微分 方程 对于式 中体积修正函数 司, 最佳表达式 应为 仲, 叻 , 但是 由于修正体积函数 中如果引 入偏移量 , 会使其导数函数 树 中存在 , 项, 使微分方程无法得到显函数形式 因此体积修正函 数采用 仍 函数形式表述 换句话说 , 对于修 正 部分的体积 , 未考虑轧齐 曲线部分 的影响 由于修 正体积相对于螺旋锥体体积非常小, 因此该简化对 结果影响较小 转动关系 转动关系利用轧件轧辊转速比函数 占 表达, 由于该函数影响原因非常复杂 , 与接触 区形状 、边 界条件和摩擦力分布等复杂变量相关, 目前还不能 给出理论公式 因此 , 本文参考转速比实测研究中 所得数据 ' , 作如下假设 令楔入瞬间转速比为无 穷小 , 应用中取值 几 一” 令轧齐第三阶段及精 整过程转速 比为定值 几 一 令整个过 程转速 比线性递增 因此想要确定转速 比数值 , 需 要首先确定轧齐 开始时刻的楔入过程转角 楔入开 始至轧齐结束转速 比公式可表示关于轧辊转角 的函 数 占 一占 。 。 【廿 】 — 口 一 分 一 `沪 沪, 沪 `沪 一 `沪 式中, 九 为轧齐第二阶段结束时轧辊转角, 应用中 近似取值 。, 为展宽段长度 程序流程图 由于轧齐 曲线的递归函数属性 , 整体求解 以半 周为单位采用迭代法求解 首先需要判定楔入轧齐