D0I:10.13374/i.issn1001-053x.2013.03.004 第35卷第3期 北京科技大学学报 Vol.35 No.3 2013年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing Mar,2013 楔横轧窄台阶轧齐曲线的微分方程解法 赵然☒，张康生 北京科技大学机械工程学院，北京100083 区通信作者，E-mail:zhaoran83@126,com 摘要为了解决目前轧齐理论应用于窄台阶轧齐曲线求解时精确性不足的问题，同时为了进一步了解轧齐成形本质， 通过改进几何模型，分析并给出各影响因素之间关系函数，将轧齐曲线求解问题描述成为微分方程初值问题.通过软件 编程应用数值方法进行求解，得到窄台阶轧齐曲线函数的离散值.使用有限元模拟计算及轧制试验的方法，将计算结果 与文献作对比.通过对比分析模拟和实验结果中台阶面的尺寸，证明该解法不但是成立的，而且有利于成形更加精确的 内侧较窄直角台阶 关键词楔横轧：轧齐成形：微分方程；数值方法 分类号TG335.1 Differential equation solution of shaping curves for narrow steps in cross wedge rolling ZHAO Ran☒，ZHANG Kang-sheg School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:zhaoran830126.com ABSTRACT Existing methods are not accurate enough to apply in the solution of shaping curves for narrow steps in cross wedge rolling.In order to solve this problem and explore the shaping essence,the curve solution was described as the initial value problem of a differential equation by improving the previous geometric model and analyzing the relationships among various factors in shaping processes.A numerical method by mathematical programming software was used to solve the discrete results of the shaping curves.Through simulation and practice experiments,the calculated results were compared with data in literatures.The comparison of step size obviously shows that this method is not only able to be established,but also better than previous methods on the shaping accuracy of narrow steps. KEY WORDS cross wedge rolling:step shaping:differential equations;numerical methods 楔横轧作为阶梯轴类零件成形的新技术，其有 在展宽段上的几何模型在几何形态和变化规律上都 节材、高效和低能耗等优点，在机械行业特别是汽存在上大差异，因此内直角台阶几何模型对于窄台 车行业应用前景阔.内侧直角台阶是阶梯轴最为 阶轧齐并不适用.实际生产中，一般是利用简单窄 常见的几何特征，楔横轧成形该几何特征时需要利 台阶轧齐曲线（轧件变形区视为锥台体，通过体积 用求解的轧齐曲线设计模其，成形质量与轧齐曲线 不变原理求解)，并根据经验试轧修正来完成模具设 息息相关，因此轧齐曲线的设计是内直角台阶成形 计，存在费时、费工、精度低等诸多问题.虽然经 的关键技术1-可.一般情况下轧齐过程都是由展宽 过改进几何模型，建立了变形区视为螺旋锥体与接 段起始的，但对于一些展宽量较小的内直角台阶， 触区组合的模型8，但成形效果仍不够满意. 通常需要在模其还未完全进入展宽段就开始进行轧 以往轧齐曲线理论的求解思路均是首先假定 齐成形.这种情况下，计算轧齐曲线所需要的儿何 一条光滑曲线，利用该曲线函数结合转动关系，推 模型是建立在楔入段基础之上的，与一般台阶建立 算出轧件大端半径变化规律函数：然后将该函数作 收稿日期：201204-10 基金项目：国家自然科学基金资助项甘(50575023,51075030)：国家科技支撑计划资助项日(2006BAF04B03)
第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 楔横轧窄台阶轧齐曲线的微分方程解法 赵 然 回, 张康生 北京科技大学机械工程学院, 北京 困 通信作者, , 摘 要 为一了解决 目前轧齐理论应用于窄台阶轧齐曲线求解时精确性不足的问题, 同时为了进一步 了解轧齐成形本质, 通过改进几何模型, 分析并给出各影响因素之间关系函数, 将轧齐曲线求解问题描述成为微分方程初值问题 通过软件 编程应用数值方法进行求解, 得到窄台阶轧齐曲线函数的离散值 使用有限元模拟计算及轧制试验的方法, 将计算结果 与文献作对比 通过对比分析模拟和实验结果中台阶面的尺寸, 证明该解法不但是成立的, 而且有利于成形更加精确的 内侧较 窄直 角台阶 关键词 楔横轧 轧齐成形 微分方程 数值方法 分类号 万注。 几 产 , 厅八万 兀 。一人。 。 , , , 困 , 一 ￡ 即 , 勿 , , 楔横轧作为阶梯轴类零件成形的新技术, 具有 在展宽段上的几何模型在几何形态和变化规律上都 节材 、高效和低能耗等优点, 在机械行业特别是汽 存在 巨大差异, 因此 内直角台阶几何模型对 于窄台 车行业应用前景 '`阔 内侧直角台阶是阶梯轴最为 阶轧齐并不适用 实际生产 中, 一般是利用简单窄 常见的几何特征, 楔横轧成形该几何特征时需要利 台阶轧齐 曲线 轧件变形 区视 为锥台体 , 通过体积 用求解的轧齐 曲线设计模具, 成形质量与轧齐 曲线 不变原理求解 , 并根据经验试轧修正来完成模具设 息息相关 , 因此轧齐 曲线的设计是内直角台阶成形 计 , 存在费时 、 费工 、 精度低等诸 多问题 虽然经 的关键技术 卜 一般情况下轧齐过程都是由展宽 过改进几何模型, 建立了变形区视为螺旋锥体与接 段起始的 , 但对于一些展宽量较小的内直角台阶, 触区组合的模型 , 但成形效果仍不够满意 通常需要在模具还未完全进入展宽段就开始进行轧 以往轧齐 曲线 理论的求解 思路 均是首先假定 齐成形 这种情况下, 计算轧齐曲线所需要的几何 一条光滑曲线, 利用该 曲线函数结合转动关系, 推 模型是建立在楔入段基础之上的, 与一般台阶建立 算出轧件大端半径变化规律函数 然后将该函数作 收稿 日期 一 一 基金项目 国家 自然科学基金资助项 目 , 国家科技支撑计划资助项 目 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2013.03.004
第3期 赵然等：楔横轧窄台阶轧齐曲线的微分方程解法 ,359 为初始条件米求解轧件未成形父体积模型，到和 体积模型由五个初值表达，分别是成形角α、展宽 应参变量下的体积函数：最后根据体积不变原理求 角3、坯料半径ro、中心距Rc和断面收缩率亚：对 解出轧齐曲线).这类解法的优点是相对比较简单， 于窄台阶还需要加入展宽量LB,未成形区体积模 容易计算：但是缺点也十分明显，就是计算精度业 型分为简化模型1-2,6-（只考虑螺旋体不考虑接触 重依赖作为初始条件的假定曲线，另外这类解法中×体积)和接触×模型3-5，刷（考虑接触区体积影响） 转动关系均设为恒定值，作为初始条件代入计算：两大类.第类接触区模型更加精确也更接近实际 如将转动大系设定为函数值，整个体积求解过程就 情况，但是直接计算模型体积会存在非常复杂的边 会需要重新推导或推导失败.虽然这类算法在处理 界条件，结果很难使日标的微分方程求解：对于简 内直角台阶轧齐问题时取得了不错的实用效果，但 单模型只需通过简单的多重积分即可求解出体积函 是对较为复杂的窄台阶轧齐过程，就不能很好地 数.因此结合微分方程求解条件，考虑将体积模型 描述.主要原内有以下几点：①很难找到满足窄台 采用如下通式表示： 阶轧齐的光滑曲线，从而导致计算结果产生较大误 差：②楔入段转动关系变化幅度较大，如简单假设 V(p)= Foly,p)d+G(p). (1) o 为定值会引起很大的误差：③体积不变原理求解仅 是对光沿曲线的修正计算，并不是真止意义的求解 式中：p为轧件转角：pe为大端半径；0Fo(p,pe) d为螺旋锥体体积：G(p)为修止体积，包括接触 轧齐曲线. 区体积以及不需大端半径表述的体积部分 为了从根本上解决这一问题，木文从轧辊轧件 的基本几何约束关系着手，对各种不确定性因素进 (a) 设定曲线 约束关系影响忽略不计 行限定，充分考虑各个因素对结果的影响，建立了 转动关系 一套新的轧齐曲线求解模型.该理论的基木思路 体积求解 是将结果中的轧齐曲线作为大端半径的计算条件代 大端半径 成形体积 体积不变 轧齐曲线 积分算法 原理 入，根据各种内素关系函数，将轧齐曲线求解问题 描述为微分方程初值问题.以微分方程可数值求解 61 几何接触约束关系，转动关系 为前提，对方程中所需各关系函数进行适当的简化 或设定，最终利用数学软件数值求解微分方程式并 大端半径 体积求解成形体积体积不变轧齐曲线 积分算法 原理 得到轧齐曲线的离散函数. 图1轧齐成形影响内关系图.，(a)原解法；(b)本文解法 1 参数关系 Fig.1 Relationships of factors in shaping processes:(a)orig- 理论上米说未成形区大端半径是由轧齐面'与 inal method;(b)discussed method 转动关系共同作用约束轧件得到.在以往的轧齐 建立一组窄台阶轧齐过程体积变化模型等轴 曲线求解方法中，一般是利用简单轧齐曲线，结 视图阁，如图2所示.由窄台阶轧齐过程前半段 合转动关系求解大端半径函数山，或者是直接不 的轧齐是建立在楔入模型基础之上的，而根据断面 考虑轧齐面影响将大端半径函数设为螺距k= 移动量的研究，楔入过程可分为三个阶段：同时 rktanatan(rk为旋转半径，a为成形角，B为展宽 轧齐过程也分为二个阶段，因此存在六种楔入轧齐 角)的阿基米德螺线2-刀.对于这类解法，求解中各 几何模型（图2中未完全给出）.楔入三阶段分别是 影响因素关系图如图1(a)所示，这类解法的特点是 楔入前半周、楔入前半周到某点开始展宽以及楔入 均未考虑轧齐面对大端半径的约束关系.如果考虑 最后半周（展宽前半周），其中图2(b)为楔入第二阶 该约束的影响，因素关系即如图1(b)所示.在这个 段轧齐第一阶段模型，图2（©）为楔入第三阶段轧齐 关系图中，除体积求解过程为积分形式外，其他均 第阶段模型.但是，尤论何种体积模型，其本质 为初等函数关系.因此可以考虑利用微分方程表述 均是由大端半径函数为边界条件的螺旋椎体组成， 各个因素之间关系，并将轧齐曲线求解问题转化为 内此均可使用上述通式表述.对于轧齐后半段（图 一个微分方程初值问题进行求解. 2(d)()与一般内直角台阶轧齐并无不同，因此可 1.1几何模型与体积函数通式 利用一般轧齐体积模型. 体积求解是以往解法中的最核心内容，针对内 为了实现数学模型的建立，设定如下条件：轧 直角台阶已经进行了大量讨论和分析.总体米说， 辊始终视为刚性体，几做匀速圆周运动：轧件始终
第 期 赵 然等 楔横轧窄台阶轧齐 曲线的微分方程解法 · · 为初始条件来求解轧件未成 形区体积模型, 得到相 应参变量下的体积函数 最后根据体积不变原理求 解 出轧齐 曲线 这类解法的优点是相对比较简单, 容 易计算 但是缺点也十分明显, 就是计算精度严 重依赖作为初始条件 的假定 曲线 另外这类解法中 转动关 系均 设为恒 定值 , 作为初始条件代入训算 如将转动 关系设定为函数值 , 整个体积求解过程就 会需要重新推导或推导失败 虽然这类算法在处理 内直角台阶轧齐 问题时取得了不错的实用效果 , 但 是对 几较为复杂的窄台阶轧齐过程 , 就不能很好地 描述 主要原因有 以下几点 ①很难找到满足窄台 阶轧齐的光沼,曲线, 从而导致计算结果产生较大误 差 ②楔入段转动关系变化幅度较大, 如简单假设 为定值会引起很大的误差 ③体积不变原理求解仅 是对光滑 曲线的修正计算, 并不是真正意义的求解 轧齐曲线 为了从根本上解决这一问题, 木文从轧辊轧件 的基木几何约束关系着手, 对各种不确定性因索进 行限定, 充分考虑各个因素对结果的影响, 建立 了 一套 新的轧齐 曲线求解模 型 该理 沦的基木思路 是将结果中的轧齐曲线作为大端半径的训算条件代 入, 根据各种因素关系函数, 将轧齐 曲线求解问题 描述 为微分方程初值 问题 以微分方程 可数值求解 为前提, 对方程中所需各关系函数进行适当的简化 或设定, 最终利用数学软件数值求解微分方程式并 得到轧齐 曲线的离散函数 体积模型 由五个初值表达 , 分别是成形角 、展宽 角 口、坯料半径 。、中心距 和断面收缩率 少 对 于窄台阶还需要加入展宽量 未成形区体积模 型分为简化模型 '一“, “一 只考虑螺旋体不考虑接触 、一体积 和接触区模型 “一, 考虑接触 区体积影响 两大类 第 一类接触区模 型更加精确也更接近 实际 情况 , 但是直接计算模型体积会存在非常复杂的边 界条件, 结果很难使 目标的微分方程求解 对于简 单模型只需通过简单的多重积分即可求解 出体积函 数 因此结合微分方程求解条件 , 考虑将体积模型 采用如下通式表示 沪 笋一 甲,户甲甲 沪· ` 式中 、 为轧件转角 。, 为大端半径 叭, 沪为螺旋锥体体积 树 为修止体积 , 包括接触 区体积 以及不需大端半径表述 的体积部分 设定曲线 转动关系 约束关系影响忽略不计 大端半径 成形体积 轧齐曲线 几何接触约束关系,转动关系 大端半径 成形体积 积不变 原理 轧齐曲线 参数关系 理 论上 来说未成形区大端半径是 由轧 齐面 ' 转动关系川 司作用约束轧件得到 在 以往的轧齐 曲线求解方法 中, 一般是利用简单轧齐 曲线, 结 合转动关系求解大端半径函数 , 或者是直接不 考虑 轧齐面影 响将大端半 径函数设为螺距 无 仪 侧 、 为旋转半径, 为成形角, 口为展宽 角 的阿基米德螺线 “一 对 于这类解法 , 求解中各 影响因素关系图如图 所示, 这类解法的特点是 均未考虑轧齐面对大端半径的约束关 系 如果考虑 该约束的影响, 因素关系即如图 所示 在这个 关系图中, 除体积求解过程为积分形式外, 其他均 为初等 函数关系 因此 ' 以考虑利用微分方程表述 各个因素之间关系, 并将轧齐曲线求解问题转化 为 一个微分方程初值 问题进行求解 几何模型与体积 函数通式 体积求解是以往解法中的最核心内容, 针一对 内 直角台阶已经进行 了大量 讨 沦和 分析 总体来说 , 图 轧齐成形影响因素关系图 原解法 本文解法 牙 建立一组窄 台阶 轧齐过程体积 变化模 型等轴 视 图 , 如图 所示 由 于窄台阶轧齐过程前半段 的轧齐是建立在楔入模型基础之上的, 而根据 断面 移动量的研究 , 楔入过程 可分为三个阶段 同时 轧齐过程也分为二个阶段, 因此存在六种楔入轧齐 几何模型 图 中末完全给 出 楔入三阶段分别是 楔入前半周 、楔入前半周到某点开始展宽以及楔入 最后半周 展宽前半周 , 其中图 为楔入第三阶 段轧齐第一阶段模型, 图 为楔入第三阶段轧齐 第 几阶段模型 但是, 无论何种体积模型, 其本质 均是 由大端半径函数为边界条件的螺旋椎体组成, 因此均 可使用上述通式表述 对于轧齐 后半段 图 尸万一般内直角台阶轧齐并无不同, 因此可 利用一般轧齐体积模型 为了实现数学模型的建立 , 设定如下条件 轧 辊始终视为刚性体 , 且做匀速圆周运动 轧件始终
,360 北京科技大学学报 第35卷 视为塑性体；轧件中心线位置始终不变：轧件绕其 成形×体积V与成形后半径r1之间关系式： 中心线做圆周运动：轧件上各圆柱体均为理想圆柱 体：轧件料头的延展始终沿中心线向外侧移动：除 X=2V/πr子. (2) 接触区外轧件各部分几何形态在轧件转动过程中始 1.3接触约束关系 终保持一致. 根据图1(a)所示关系图，需利用接触关系确定 (a) (b) 轧齐曲线横坐标X'与j大端半径p。之间的函数.直 接利用两者之间函数在计算上会比较复杂，因此引 入一个中间量一轧齐曲线偏移量D,物理意义 (d) (ej 是轧齐曲线截止自然交线的内侧偏移位移平.如图 3(a)所示，A-A剖面轧齐曲面高H,成形角为a,此 剖面的偏移量D为 图2窄台阶轧齐各阶段几何形态等轴视图.()轧齐起始时 D=H cot a. (3) 刻：(b)楔入二轧齐：(c)楔入二轧齐二：(d)轧齐第二阶段：(e) 轧齐第三阶段：()轧齐结束时刻 轧件未成形区形状是由接触分离线随轧件旋 Fig.2 Isometric view of workpieces in the shaping process 转得到，最大半径轧齐曲线高存在几何约宋关系 of narrow steps:(a)initial time;(b)the 2nd knife the 1st (如图3(b)所示)，而轧齐曲面高H是经轧齐曲线 shaping;(c)the 3rd knife the 2nd shaping;(d)the 2nd step 横坐标X设计模其而得到的，为轧辊转角的函数. of shaping;(e)the 3rd step of shaping;(f)finish time 结合式(3)，可将轧件大端半径函数表述为 1.2体积不变原理 po(y)= To p=0,, 体积与轧齐曲线的关系可以根据体积不变原 (4) ro -Dtana =El. 理确定叫：某时刻卡成形区体积恒等J于轧件轴颈处 还需伸长的体积.轧齐曲线横坐标X可以表示为未 式中，E为轧件轧齐结束转角. A-A WT 轧齐曲线 轧辊 轧辊 (a) (6) 图3轧辊轧件约束关系示意图.（⑧）约束简图及剖面图；(b)轧辊展开图轧齐段局部 Fig.3 Diagrams of constraint relationships between the roller and workpieces:(a)constraint diagram and its cross-sectional view: (b)expansion plan of the shaping part 图3中Yo为轧齐起始点纵坐标：△r=r0- 基圆半径 r1;W个为即时展宽量，也就是该时刻轧辊工作宽1.4转动关系 度.根据轧辊局部展开图（图3(b)》中P点，可以得 轧齐曲线计算时，一般采用旋转半径k作为 到轧齐曲线坐标XJ偏移量D的关系如下： 表述转动关系的参数.本文采用转速比6替代旋转 X=D+(Yo-0R1 -Li)tan B, 半径k表示轧辊和轧件的运动关系.这是由于在求 (5) Y=(X-D)/tanB+L1. 解窄台阶轧齐过程时需要楔横轧刚刚开始楔入时的 转动关系，而此时旋转半径k趋近于无穷大，在数 式中，0为轧辊转角，L1为楔入段K度，R1为轧辊 学表达上会存在很多问题，因此采用转速比6作为
第3期 赵然等：楔横轧窄台阶轧齐曲线的微分方程解法 361· 描述转动关系的参数.轧齐过程某时刻轧辊轧件的 2.2方程求解 旋转关系如图4所示.经过时间dt轧辊继续转动 由于微分方程式(9)右边十分复杂，显然求解 一个微小的角度d0,与此同时对应的轧件被带动转 通解是不可能的，因此需要利用数学软件求解定义 动一个角度d如.由于这两个转角无穷小，因此必定 域区间数值解.本文利用Matlab软件中微分方程求 存在如下关系： 解器，一般来说ODE45是大多数微分方程第一次 dip=wodt=dt=we(Rc-ndt =Rc-rk do. 求解的最佳选择，它是一个基于龙格-库塔公式的 Tk Tk 单步求解器，求解方法是首先对微分方程离散化， (6) 建立求数值解的递推公式，并利用单步法依次求解 式中，we为轧件转速函数，w0为轧棍转速函数，v n+1.该命令行为9-10 为等速圆的线速度函数.图4中R为轧辊外径. [t,Y]=ode45(odefun,tspan,y0). (10) R 式中：参数t为自变量：参数Y为函数值：参数 轧件 odefun为方程表达式，一阶微分方程为微分项显函 ⑧ 数形式，可表示为y=f(t,):参数tspan为自变 量范围；参数0为微分方程初值，表示为D(O)=0. 对于微分方程式（⑨），只需函数F(P,D(p)八、G(p) 和J（()表达式存在，即可利用求解器求解出微分 方程. 对于式(1)中体积修正函数G(),最佳表达式 轧辊 应为G(p,D(p),但是由于修正体积函数中如果引 入偏移量D,会使其导数函数G(p)中存在D1项， 等速圆 使微分方程无法得到显函数形式.因此体积修正函 数采用G(p)函数形式表述.换句话说，对于修正 图4轧辊轧件转动关系示意图 部分的体积，未考虑轧齐曲线部分的影响，由于修 正体积相对于螺旋锥体体积非常小，因此该简化对 Fig.4 Diagrams of rolling relationships between the roller 结果影响较小. and workpieces 2.3转动关系 令转速比6=wp/uwg=(Ro-rnk)/rk,因此轧辊 转动关系利用轧件轧辊转速比函数6（Θ）表达， 轧件微转角关系为 由于该函数影响原因非常复杂，与接触区形状、边 界条件和摩擦力分布等复杂变量相关，目前还不能 dp=6dθ. (7) 给出理论公式.因此，本文参考转速比实测研究中 所得数据1，作如下假设：令楔入瞬间转速比为无 2微分方程建立及求解 穷小，应用中取值B=10-3:令轧齐第三阶段及精 2.1微分方程建立 整过程转速比为定值s=(Rc-r1)/r1:令整个过 根据因素关系图1(b)以及关系函数表达式，联 程转速比线性递增.因此想要确定转速比数值，需 立式(1)式(2)、式(4)和式(7)得到如下形式函数 要首先确定轧齐开始时刻的楔入过程转角.楔入开 式： 始至轧齐结束转速比公式可表示关于轧辊转角的函 数： w.D(p))dvp+AvG(p)-D(p) 60)=6s-6B0+iB. 式中，Av=2/πr,J(p)=(Y%-R∫(0)d8- 式中，E为轧齐第二阶段结束时轧辊转角，应用中 L1)tan B. 由于式（⑧）中各函数均为连续函数，可对其左右 近似取值(L1+L2)/Ro,L2为展宽段长度 2.4程序流程图 分别求导，并整理可得关于偏移量D的微分方程： 由于轧齐曲线的递归函数属性，整体求解以半 D'(p)=AvF(,D(p)+AvG'(p)-J'(p).(9) 周为单位采用迭代法求解。首先需要判定楔入轧齐
第 期 赵 然等 楔横轧窄台阶轧齐曲线的微分方程解法 · · 描述转动关系的参数 轧齐过程某时刻轧辊轧件的 旋转关系如 图 所示 经过 时间 亡轧辊继续转动 一个微小的角度 , 与此同时对应的轧件被带动转 动一个角度 沪 由于这两个转角无穷小, 因此必定 存在如下关系 沪 公沪 二 竺 丝巡二工业 。 一 , 。 — 口 式中, 。, 为轧件转速 函数 , 吻 为轧棍转速函数 , 为等速 圆的线速度函数 图 中 为轧辊外径 方程求解 由于微分方程式 右边十分复杂 , 显然求解 通解是不可能的, 因此需要利用数学软件求解定义 域区间数值解 本文利用 软件中微分方程求 解器 , 一般来说 是大 多数微分方程第一次 求解的最佳选择 , 它是一个基于龙格 一库塔公式的 单步求解器 , 求解方法 是首先对微分 方程离散化 , 建立求数值解 的递推 公式, 并利用单步法依次求解 纵 该命令行为 ”一 , 哈一一一一一 叹 ,洲、十囚 , 』 , ,加 · 图 轧辊轧件转动关系示意图 令转速比占 。, 山。 一 , 因此轧辊 轧件微转角关系为 沪 二 占 微 分方 程 建立 及 求解 微分方程建立 根据因素关系图 以及关系函数表达式 , 联 立式 、式 、式 和式 得到如下形式函数 式 ·关沪,, ” , ` , 、 ·, 一” , 十` , · 式中, 二心, 司 一 占 一 口 由于式 中各函数均为连续函数, 可对其左右 分别求导, 并整理可得关于偏移量 的微分方程 式中 参数 艺为 自变量 参数 为函数值 参数 为方程表达式, 一阶微分方程为微分项显函 数形式, 可表示为 犷 二 艺,功 参数 为 自变 量范围 参数 为微分方程初值 , 表示为 对 于微分方程式 , 只需函数 仲, 司 、 ' 树 和 ' 叻 表达式存在 , 即可利用求解器求解出微分 方程 对于式 中体积修正函数 司, 最佳表达式 应为 仲, 叻 , 但是 由于修正体积函数 中如果引 入偏移量 , 会使其导数函数 树 中存在 , 项, 使微分方程无法得到显函数形式 因此体积修正函 数采用 仍 函数形式表述 换句话说 , 对于修 正 部分的体积 , 未考虑轧齐 曲线部分 的影响 由于修 正体积相对于螺旋锥体体积非常小, 因此该简化对 结果影响较小 转动关系 转动关系利用轧件轧辊转速比函数 占 表达, 由于该函数影响原因非常复杂 , 与接触 区形状 、边 界条件和摩擦力分布等复杂变量相关, 目前还不能 给出理论公式 因此 , 本文参考转速比实测研究中 所得数据 ' , 作如下假设 令楔入瞬间转速比为无 穷小 , 应用中取值 几 一” 令轧齐第三阶段及精 整过程转速 比为定值 几 一 令整个过 程转速 比线性递增 因此想要确定转速 比数值 , 需 要首先确定轧齐 开始时刻的楔入过程转角 楔入开 始至轧齐结束转速 比公式可表示关于轧辊转角 的函 数 占 一占 。 。 【廿 】 — 口 一 分 一 `沪 沪, 沪 `沪 一 `沪 式中, 九 为轧齐第二阶段结束时轧辊转角, 应用中 近似取值 。, 为展宽段长度 程序流程图 由于轧齐 曲线的递归函数属性 , 整体求解 以半 周为单位采用迭代法求解 首先需要判定楔入轧齐
362 北京科技大学学报 第35卷 起始位置，根据参数判断窄台成形几何模型⑧，依 齐后半段的轧齐曲线.具体算法程序流程图如图5 次迭代求解：再带入常规轧齐求解模块求解窄台轧 所示，共编写Matlab程序800余行 建立第N+1段体积方程 建立第段下个半周方程 是 求解起始位置转 参数初始化， 参数输人 角y,确定窄台轧 N=1,建立 数值法 a,3,Ψ，： 禊人过程 齐阶段几何模型 第一段的第 求解微 第W段是否 否 RC.Le 求解各体积模型 一个半周体 分方程 是否结束 有剩余部分 边界条件网 积方程 是 楔人轧齐结束，利用 体积拟合反函数求解 参数初始化， 是 M=1建立第 数值法 建立第 轧齐转角(，确定轧 是否进人轧 求解微 判断是否 否 M+1段 齐几何模型及边界 齐第三阶段 一半周体积 Dmwx≥L:tang 体积方 方程 分方程 条件 程 是 数据输出窄台轧齐 建立第三阶段体 利用偏移量拟合 程序结束 N段一般轧齐前部 积模型，并求解 函数反函数得到 M段第三阶段半周 微分方程，多项 D=LitanB位置 式拟合 转角值pe一不 图5 程序流程图 Fig.5 Program flow diagram 3结果分析 推空和一定斜面现象.说明对于展宽适中的窄台阶， 为了验证本文方法的正确性，应用计算结果设 本文结果能取得不错的成形效果，对于展宽较小的 计模具，并利用有限元模拟和实轧试验的方法来判 窄台阶成形效果稍差，这主要是由于展宽适中的窄 断轧齐曲线的成形效果.由于轧齐过程轧件变形量 台阶楔入轧齐段较短，迭代求解次数较少，结果比 较大，因此采用刚塑性有限元模型对变形过程进行 较接近真实值：而展宽较小的窄台阶楔入轧齐过程 求解.基本参数选取如下：成形角a=26°，展宽角 长，体积模型的系统误差随迭代求解而放大，内此说 3=8°，原始半径ro=20mm,断面收缩率亚=75%， 明楔入轧齐模型及变化规律存在进一步优化的空间. 轧辊半径Ro=250mm,展宽量LB=10、20mm,轧 为了进一步实践验证，在北京科技大学H500 辊转速n=1rs-1,轧件材料45#钢，轧件温度T=楔横轧轧机上进行了实轧实验，两组轧齐参数与模 1150℃.为简化模拟过程，对一些次要不稳定因素 拟参数一致.实验包括调试试轧共轧制零件8件如 进行限定性假设如下：模具视为刚体，且室温恒温： 图6(b)所示.为了精确描述两条轧齐曲线的成形差 将轧制摩擦视为剪摩擦，并选取恒等摩擦因数. 别，对模拟结果采用台阶面24点测量方法（取点位 通过Matlab程序求解轧齐曲线，利用Pro/E对 置如图7所示)：对于实验轧件，采用四向台阶面取 模具三维建模，将模型导入有限元软件Deform3D 内外两点的测量方法，共计环状均布8点进行测量， 进行有限元模拟计算.应用简单窄台曲线⑧和本 得到台阶槽宽度均值及方差见表1所示.可以看出 文曲线分别模拟成形内角台阶，结果如图6()所实验结果与模拟结果具有高度一致性，这说明利用 示，直观上可以看出简单曲线将台阶推出更多，有限元模拟能够获得比较接近真实成形的结果.无 而且成形台阶面有明显的斜面，这是典型曲线X论是从台阶尺寸精度或是方差表示的平面性，都可 方向设计量偏小造成的成形缺陷：对于本文曲 以说明本文曲线的成形效果更加优异，其中实验结 线，LB=20mm情况成形效果较好，无明显推空和 果中方差平面性没有模拟结果显著是由丁对实验结 斜面现象，LB=l0mm情况成形效果稍差，有轻微 果测量样本较少，且测量精度不高造成的
· · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 卷 起始位置, 根据参数判断窄台成形几何模型 , 依 次迭代求解 再带入常规轧齐求解模块求解窄台轧 齐后半段的轧齐 曲线 具体算法程序流程 图如 图 所示, 共编写 程序 余行 建立第 十段体积方程 建立第 段下个半周方程 求解起始位置转 参数初始化, 参数输人 角叭,确定窄台轧 ,建立 ,口,吸场, 齐阶段几何模型, 第一段的第 ,场 求解各体积模型 一个半周体 数值法 边界条件 积方程 求解微 分方程 楔人轧齐结束,利用 参数初始化, 体积拟合反函数求解 建立第 数值法 建立第 轧齐转角叭, 确定轧 一半周体积 求解微 材十 段 齐几何模型及边界 方程 分方程 体积方 条件 程 数据输出窄台轧齐 建立第三阶段体 利用偏移量拟合 程序结束 拟五锻段一第般三轧阶齐段前半部周 积微模分型方程 , 并, 求多解项 函数反函数口 ,位得置到 式拟合 转角值甲“一兀 图 程序流程 图 结果分析 为了验证本文方法 的正确性, 应用计算结果设 计模具, 并利用有 限元模拟和实轧试验的方法来判 断轧齐 曲线的成形效果 由于轧齐过程轧件变形量 较大, 因此采用刚塑性有限元模型对变形过程进行 求解 基本参数选取如下 成形角 , 展宽角 口 , 原始半径 勺 , 断面收缩率 少二 , 轧辊半径 , 展宽量 、 , 轧 辊转速 一 ·一, 轧件材料 钢 , 轧件温度 ℃ 为简化模拟过程, 对一些次要不稳定因素 进行限定性假设如下 模具视为刚体, 且室温恒温 将轧制摩擦视为剪摩擦 , 并选取恒等摩擦因数 通过 程序求解轧齐曲线, 利用 。 对 模具三 维建模, 将模型导入有 限元软件 进行有 限元 模拟计算 应用 简单 窄 台曲线 和本 文 曲线分别模拟成形 内角台阶, 结果如 图 所 示 , 直观上 可 以看 出简单 曲线 将台阶推 出更 多, 而且成形台阶面有明显的斜 面, 这是典型 曲线 方 向设计量偏小造成 的成形缺 陷 而对于本文 曲 线 , 情况成形效果较好 , 无明显推空和 斜面现象, 情况成形效果稍差, 有轻微 推空和一定斜面现象 说明对于展宽适中的窄台阶, 本文结果 能取得不错 的成形效果, 对于展宽较小的 窄台阶成形效果稍差 , 这主要是由于展宽适中的窄 台阶楔入轧齐段较短 , 迭代求解次数较少, 结果 比 较接近真实值 而展宽较小的窄台阶楔入轧齐过程 长, 体积模型的系统误差随迭代求解而放大, 因此说 明楔入轧齐模型及变化规律存在进一步优化的空间 为了进一步实践验证 , 在北京科技大学 楔横轧轧机上进行了实轧实验 , 两组轧齐参数 与模 拟参数一致 实验包括调 试试轧共轧制零件 件如 图 所示 为了精确描述两条轧齐 曲线的成形差 别 , 对模拟结果采用台阶面 点测量方法 取点位 置如图 所示 对于实验轧件 , 采用 四向台阶面取 内外两点的测量方法, 共计环状均布 点进行测量, 得到台阶槽宽度均值及方差见表 所示 `可以看 出 实验结果与模拟结果具有高度一致性 , 这说明利用 有限元模拟能够获得 比较接近真实成形的结果 无 论是从台阶尺寸精度或是方差表示的平面性, 都可 以说明本文 曲线的成形效果更加优异 其中实验结 果中方差平面性没有模拟结果显著是 由 于对实验结 果测量样本较少, 且测量精度不高造成的
第3期 赵然等：楔横轧窄台阶轧齐曲线的微分方程解法 .363. 本文曲线Le=20mm 简单曲线La=20mm 本文曲线Le=10mm 简单曲线Ln=10mm 图6轧齐成形的模拟(a)与实验结果(b) Fig.6 Results of shaping in simulation (a)and experiments(b) P距台阶面内缘1mm (3)利用微分方程法求解轧齐曲线，从理论上 P距台阶面外缘1mm 避免了假定大端半径函数对体积精度的影响，使数 点间距PP=4mm 点间距PP=4mm 学模型更加接近实际情况.微分方程解法不但是一 PPP 种窄台阶轧齐曲线算法，同时也能为研究其他复杂 轧齐过程提供有效的理论基础. P19 参考文献 图T测量点分布示意图 [1]Hu Z H,Zhang K S,Wang B Y,et al.The Forming Fig.7 Distribution diagram of measuring points Technology and Simulation of Shafts with Cross Wedge Rolling.Beijing:Metallurgical Industry Press,2005 表1成形表面测量点的横向坐标Z值 (胡正寰，张康生，王宝雨，等.楔横轧零件成形技术与模 Table 1 Axial values Z of measuring points 拟仿真.北京：冶金工业出版社，2005) 数据来源展宽，LB/mm均值/mm方差/mm2 [2 Du H P,Zhang K S,Shi H L,et al.Geometrical analysis 模拟，简单曲线 10 14.64 2.07 摸拟，简单曲线 20 23.09 1.63 on right-angle step forming process in cross wedge rolling. 模拟，本文曲线 10 11.37 1.35 JUniv Sci Technol Beijing,2004,26(6):658 模拟，本文曲线 20 20.87 0.93 (杜惠萍，张康生，石洪磊，等，楔横轧轧齐阶段几何形念 实验，简单曲线 10 13.34 1.57 的分析.北京科技大学学报，2004,26(6)：658) 实验，简单曲线 20 22.88 1.32 3]Du H P.Study of the Key Subjects on the Accurate Shap- 实验，本文曲线 10 1124 114 ing of Workpiece for Cross Wedge Rolling [Dissertation]. 实验，本文曲线 20 21.06 1.29 Beijing:University of Science and Technology Beijing, 2006:22 4结论 (杜慧萍.楔横轧精确成形关键问题的研究[学位论文.北 京：北京科技人学，2006：22) (1)通过全面分析影响轧齐成形过程各个因素， 结合轧辊轧件数学模型，给出内素之间关系函数， 4]Liao CX.The Study of Accurate Shaping of Inside-Right- Angle Step of Cross Wedge Rolling [Dissertation].Bei- 将轧齐曲线求解问题描述为微分方程初值问题.以 jing:University of Science and Technology Beijing,2009: 数值法求解为日的，对各个不确定因素进行设定， 11 结合窄台阶成型过程几何模型，最终利用Matlab (鏖垂鑫.楔横轧内直角台阶精确成形的研究学位论文 软件求解微分方程，并根据窄台阶成形过程，数学 北京：北京科技大学，2009：11) 编程求解窄台阶轧齐曲线. (5]Zhao R,Zhang K S,Hu Z H.The calculation method of (2)采用有限元模拟和实验的方法，对比了简 accurate shaping curve of inside right-angle step in cross 单窄台曲线与本文解法成形效果.对模拟结果台阶 wedge rolling.Appl Mech Mater,2010,37/38:1416 面环形均布取点24个，对实验结果环形均布取点 (6)Hu F G,Wang B Y,Hu Z H.Shaping curve of the right- angle step of a cross wedge rolling elliptical shaft.J Univ 8个，通过对比取值点轴向坐标均值及方差，说明 Sci Technol Beijing,2010,32(4):520 木文解法不但是成立的，而且得到的轧齐曲线成形 (胡发国，E宝雨，胡正寰.楔横轧椭别轴直角台阶轧齐曲 效果更佳 线.北京科技大学学报，2010,32(4)：520)
第 期 赵 然等 楔横轧窄台阶轧齐曲线的微分方程解法 · · 本文曲线几 简单曲线几 二 本文曲线几 简单曲线场 二 图 轧齐成形的模拟 与实验结果 距台阶面内缘 凡距台阶面外缘 点间距 凡卜 点间距 几凡卜 利用微分方程法求解轧齐 曲线, 从理论上 避免 了假定大端半径函数对体积精度的影响, 使数 学模型更加接近实际情况 微分方程解法不但是一 种窄台阶轧齐曲线算法 , 同时也能为研究其他 复杂 轧齐过程提供有效的理论基础 参 考 文 献 图 测量点分布不意图 表 成形表面测量点的横向坐标 值 数据来源 展宽, 均值 方差 模拟, 简单曲线 模拟, 简单 曲线 模拟, 本文 曲线 模拟, 本文 曲线 实验, 简单曲线 实验, 简单曲线 实验, 本文 曲线 实验, 本文 曲线 万 ` , 山`︺,﹃口日一︹︸ 结论 通过全面分析影响轧齐成形过程各个因素 , 结合轧辊轧件数学模型 , 给出沐素之间关系 函数, 将轧齐 曲线求解问题描述 为微分方程初值 问题 以 数值法求解为 目的, 对各个不确定因素进行设定, 结合窄台阶成型过程几何模型, 最终利用 软件求解微分方程 , 并根据窄台阶成形过程 , 数学 编程求解窄台阶轧齐 曲线 采 用有 限儿模拟和实验的方法, 对 比了简 单窄台曲线 与木文解法成形效果 对模拟结果 台阶 面环形均 布取点 个, 对实验结染环形均布取 点 个 , 通过对比取值点轴 向坐标均值及方差 , 说明 木文解法不但是成立 的, 而且得到的轧齐 曲线成形 效果更佳 【 , , , 。 。夕 四, 从 , 亡乞 示 勿乞艺 阳 夕 乞几 , 胡正寰 , 张康 ' 几, 上宝雨, 等 楔横轧零件成形技术 与模 拟仿真 北京 冶金工业出版社, 【」 , , , 一 确 乞 乞 勺`。夕, , 杜惠萍 , 张康生 , 石洪磊, 等 楔横轧轧齐阶段几何形态 的分析 北 ' 科技大学学报, , 』 二夕 , 二勿 , 。亡 、、 叩 乞仰 二如乞 夕 乞。夕【 」 , 杜慧萍 楔横轧精确成形关键 问题的研究 学位论文 北 京 北京科技大学 , 」 亡二, 。二 叩,。夕 记 一乞夕亡 呵 , 阳 “叼 」 , 廖垂鑫 楔横轧内直角台阶精确成形的研究 学位论文 北京 北京科技大学, , , 一 · 即 亡 , , 司 , 认乙 , 二 叮乞。夕, , 胡发国, 宝雨, 胡正寰 楔横轧椭圆轴 直角台阶轧齐 曲 线 北京科技大学 ·学报,
·364· 北京科技大学学报 第35卷 [7)Wang J L,Xu CG,Ren G S.Research of expressible way (王正林，刘明.精通MATLAB7.北京：电子工业出版社， of helix in cross wedge rolling.J Plast Eng,1998,5(4):97 2006) (王景梁，徐春国，任广升.楔横轧成形螺旋面表达方式研 [10]Dormand J R,Prince P J.Family of embedded Runge- 究.塑形工程学报，1998,5(4)：97) Kutta formulae.J Comput Appl Math,1980,6:19 [8 Zhao R,Zhang K S.The calculation of shaping curve for step with minor width in cross wedge rolling//The [11]Wang B Y,Hu F G,Hu F S,et al.Experimental research 2nd Inernational Conferenceon Mechanic Automationand on rolling radius of formed part for cross wedge rolling.J Control Engineering.Hohhot,2011:1732 Mech Eng,2010,46(24):22 [9]Wang Z L,Liu M.Proficient in MATLAB7.Beijing:Elec- (王宝雨，胡发国，胡福生，等。楔横轧轧件滚动半径变化 tronics Industry Press,2006 规律的试验研究.机械工程学报，2010,46(24)：22)
· · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 卷 【 ` , , 印 勺 · 二亡枷 夕, , 王景梁, 徐春国, 任广升 楔横轧成形螺旋面表达方式研 究 塑形工程学报, , 」 , 云 们 , 。 几 。乞 社忿 几 。云。 几夕讯 ” 几 , 【」叭厄 , 尸代诉 ￡ 云。材滋 , 王正林, 刘明 精通 北京 电子工业出版社 【』 , 哪 公 之材 。亡, , 【』从厄 , , , 材 肠夕, , 王宝雨, 胡发国, 胡福生 , 等 楔横轧轧件滚动半径变化 规律的试验研究 机械工程学报,