D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1985.01.020 北京钢铁学院学报 1985第1期 用x线衍射线形分析测定晶粒尺寸及 微畸变的傅立叶级数合成方法 北京钢铁学院李华瑞 北京钢铁研究总院孟庆恩 北京有色金属研究总院邸秀董 摘要 本文提出了一个采用傅立叶级数合成方法分析X射线衍射线形来确定金属多晶 体中晶块尺寸及微畸变的方法。与现存的其它方法相比较，这一方法所做的假设是 最少的。 一、前 言 在x射线粉末法线形分析的工作中，应用得最广泛的是近似函数法【1'和Warren等人所 提出的傅立叶级数的系数分析法【2。 一般认为Warren方法在理论上是较为严密的。应用Warren方法的主要困难在于：由实 验给出的F(物理加宽曲线傅立叶展开式的系数)随t(傅立叶系数的级数)变化的曲线， 在t接近于零处，常常是弯曲的，这种弯勾现象，使得在t=0处取切线时具有很大的不肯定 之处，因而难以准确的给出晶粒尺寸D的数值。 在以前的工作中[3'，我们指出，在求得物理加宽曲线的工作中，stokes的傅立叶级数 合成方法【是最直接和最可靠的方法，因为在计算的过程中，没有引入任何假设。 在本工作中，作者试图用stokes方法将物理加宽曲线中的晶粒细化部分与微畸变部分 区分开来。采用不断改变假设的衍射线形参数，不断进行傅立叶级数分解和合成的方法，反 复循环求解。与其它方法相比，这一方法所做的假设是最少的。缺点是计算工作量较大。 二、基本原理和求解步骤 对衍射线形的分析是分成两步进行的。 第一步，由实验测得的试样衍射曲线(x)和标样衍射曲线g(x)求出试样的物理加宽曲 线f(x)。 Jones【'给出了以上三个函数之间以卷积形式所表达的关系式： 〔注〕：本文获得治金系统x射线专业会（一九八四年于黄山）颁发的优秀论文奖励证书。 66
北 京 钢 铁 学 院 学 报 第 期 用 线衍射线形分析测定晶粒尺寸及 微畸变的傅立叶级数合成方法 北京钢铁 学院 李华瑞 北京钢铁研 究总院 孟庆恩 北京有色金属研 究总院 邸秀 茸 摘 要 本文提 出 了一 个采 用傅立 叶 级数合成 方法 分析 射线衍 射线形来确 · 定金属 多晶 体 中晶块尺 寸及微畸 变的方法 。 与现存 的其它 方法 相 比较 ， 这 一 方法 所 做 的假设 是 最少 的 。 一 、 前 言 在 射线 粉末 法线 形 分析 的工 作 中 ， 应 用 得最广 泛 的 是近似 函 数法 ‘ 〕 和 等人所 提 出的傅立叶级数的 系数分析法 〔 “ ’ 。 一 般认为 方 法在 理论 上是 较为严 密 的 。 应 用 方 法 的主要 困难在 于 由实 验给 出的 物理加宽曲线 傅立叶展开 式 的 系数 随 傅立叶 系数的级数 变 化的 曲线 ， 在 接近 于 零处 ， 常常是弯 曲的 ， 这种弯 勾现 象 ， 使得在 处取切 线 时具有很大 的 不 肯定 之处 ， 因而 难 以准确的给 出晶粒尺寸 的数值 。 在 以 前的工 作中 沁 ’ ， 我们指 出 ， 在求 得物理加宽 曲线 的工 作 中 ， 的 傅立 叶级数 合 成方法 工‘ ’ 是最直接和 最可 靠的方 法 ， 因为在计算的过程 中 ， 没有 引入任何假设 。 在 本工 作 中 ， 作者试 图用 方法将物 理加 宽 曲线 中的 晶粒 细 化部 分 与微 畸变部 分 区分开来 。 采 用 不 断改 变假设 的衍射线形 参数 ， 不断进 行 傅立 叶级数分解和 合 成 的 方法 ， 反 复循环求解 。 与其它方法相 比 ， 这一 方法所做 的假设是最 少 的 。 缺点是计 算工 作量 较大 。 二 、 基本 原理 和求解步骤 对衍射线形 的分析是分成两步进 行 的 。 第一 步 ， 由实验测得的试样衍射 曲线 和 标 样衍射 曲线 求 出试样的物 理加宽 曲 线 。 ‘ ’ 给 出了 以 上三个函数之间 以卷积形 式所 表达 的关 系式 〔注 〕 本 文获得冶金 系统 射 线 专业 会 一 九八 四 年于 黄山 颁 发 的 优秀论文奖励 证 书 。 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1985．01．020
h(x)=(f(y)g(x-y)dy (1) 由上式可得： F(t)=1.H(t) (2) a G(t) 上式中F(t)、H(t)、G(t)分别为f(x)、h(x)、g(x)的傅立叶级数展开式的系数。其中 H(t)=Eh(x)ex p(2xixt/a) (3) G(t)=Eg(x)exp(2nixt/a) (4) 求出F(t)之后可按下式合成f(x)曲线 f(x)=EF(t)exp(-2xixt/a) (5) 当衍射线形的宽化仅由晶粒细化引起时，由(x)曲线的宽度B就可直接求出晶粒尺寸D 的数值： D=Bca间 (6) 上式中k≈1，入为入射线的波长，0为布拉格角。 但在一般情况下，物理加宽曲线是由晶粒细化加宽曲线m(x)和微畸变加宽曲线n(x) 迭加形成的（在这里，我们忽略了层错的影响）。 第二步，是由f(x)求出m(x)及(x)。这一步与上一步不同。第一步是由两个已知函 数h(x)和g(x)求一个未知函数f(x),而第二步是由一个巳知函数f(x)求出两个未知函数 (x)和(x)。因此在求解时，需要对其中的一个函数的表达形式做出假设，而且需要取指 数为(HKL)和(nH、nK、nL)的两组衍射线对。 具体做法如下： 首先，与(1)式相类似，可写出 fi(x)=mi(y)n(x-y)dy (7A) f:(x)=∫m(y)n(x-y)dy (7B) 在本文中下标1对应于指数为(H、K、L)的衍射线，下标2对应于指数为(nH、nK、 nL)的衍射线。 「：(x)及f2(x)可展开为傅立叶级数： F,(t)=∑f:(x)exp(2πixt/a) (8A) F:(t)=Ef:(x)exp(2xixt/a) (8B) 在本文的实例中，我们假设n1(x)的函数表达式为： n1(x)=(1+Kx)2 1 (9A) 因曲线的飘分宽使B。-小(x)1x利a+x“录，所以 67
‘ ， ‘ 一 ，“ 由 上式可 得 。 ， 、 、 － 上式 中 、 、 分别为 、 、 的傅立 叶级数 展 开 式 的 系数 。 二 乙 二 其 中 求 出 之后可按 下 式 合 成 曲线 习 一 二 当衍射线形 的宽 化仅 由晶粒细 化引起时 ， 由 曲线的宽度 就可 直接求 出晶粒尺寸 的数值 一 入 日 。 。 。 日 上式 中 、 ， 久为入射线 的 波长 ， 为布拉格角 。 但在一 般 情 况 下 ， 物 理加 宽 曲线 是 由晶粒 细 化加宽 曲线 和 微 畸变加宽 曲线 迭加形 成的 在 这 里 ， 我们 忽略 了层 错的影 响 。 第二步 ， 是 由 求 出 及 。 这一 步 与 上一 步 不 同 。 第一 步是 由两个 已知 函 数 和 求一个未知 函 数 ， 而 第二 步是 由一 个 巳知 函数 求 出两个未知 函数 和 。 因此在求解 时 ， 需要 对其 中的一 个函 数 的 表达形 式做 出假设 ， 而且 需 要取指 数为 和 、 、 的 两组衍射线对 。 具 体做法 如下 首先 ， 与 式 相 类似 ， 可 写 出 ‘ 二 一 ， ‘ 二 歹 一 在 本文 中下标 对应 于指数为 、 、 的衍射线 ， 下 标 对应 于指数为 、 、 的 衍射线 。 ， 及 可 展 开为 傅立 叶级数 二 名 兀 在 本文 的 实例 中 ， 我 们假设 的 函 数表 达式为 一 “ 因曲线 的积 分宽度 。 一 歹 ，。 恶 弓导 ， 所 以 乙 宜
iax/ax)dx (10) 另一方面对于微畸变的情况，已知： Bn1=tge Ba:tgea (11) 因此： K2=K1(tg01/tg02) (12) 这样，我们得出了2(x)曲线的函数表达式为： 1 n2(x)=1+K,2x)2 (9B) 接着有： N,(t)=∑n,(x)exp(2πixt/a) (13A) N2(t)=En2(x)exp(2mixt/a) (13B) 然后便可求出： M,(t)=1.F(t) a Ni(t) (14A) M2(t)=-1.F,(t) a N2(t) (14B) 由以上两式可合成出m(x)曲线： m,(x)=M1(t)exp(-2πixt/a)· (15A) m2(x)=EM2(t)ex p(-2mixt/a) (15B) 出(x)曲线可得出它的积分宽度B,又由(6)可得出： Bm1/Bm2=cos02/cos01 (16) 我们将(16)式做为一个判据，判定我们所选的第一个K!=K:。的数值以及由此起算而 在其后得到的n(x)、nz(x)和m1(x)、m2(x)是否正确。希望所得结果能满足下式： (cos)2/cog1)(1-8)≤(Bm1/Bm2)≤(co892/cos0,)(1+δ) (17) 式中δ为精确程度。 如果(17)弋不能得到满足，则我们再设K1=K11=K1。+△人，然后重复以上傅立叶级 数分解和合成的运算，得出新的Bm1和Bmz,如此循环做下去，一直到满足(17)式时为止。 这时，就以所得到的Bm1或Bm2的数值计算出晶粒尺寸D的数值。由最后一次得到的 B。:或Baz的数值按下式计算微畸变的数值： B.ctg0 (18) 三、计算机框图 上述计算过程第一步的计算机框图示于图1，第二步的计算机框图示于图2。 68
日 。 日 二 歹 ， ， ， 、 ， ， ， 少 一 二 一 另一 方面 对于微 畸变 的情况 ， 已知 日 。 日 。 因此 这 样 ， 我 们得 出了 。 曲线 的 函数表达 式为 万 、 、 吸 、 接 着有 乙 二 二 然 后 便 可求 出 卫 由以 上两 式可 合成 出 曲线 乙 ， 一 二 ， 一 二 由 曲线可 得 出它的积 分宽度 日 ， 又 由 可 得 出 日 二 日 二 二 印吕 哪 我 们将 式做为一个判据 ， 判定我们所选 的第一个 。 的数值 以 及 由此起算而 在 其后 得到 的 、 和 、 是 否正确 。 希望所得结果 能满 足下式 一 各 日 日 乙 式 巾 己为精确程 度 。 如果 了 弋不能 得到 满 足 ， 则我们再设 。 △ ， 然后 重复 以 上傅立叶级 数 分解和 合 成 的运 算 ， 得 出新 的 日 。 ，和 日 。 ， 如 此循环做下 去 ， 一 直到满 足 式 时为止 。 这 时 ， 就 以所得到 的 或 日 的数值计 算出晶粒尺寸 的数值 。 由最 后一 次得到 的 。 或 日 。 的数 值按 下式 计算微畸变 的数 值 一 一 了一 怪 三 、 计算机框 图 上述计 算过 程 第一 步的计算机框 图示 于 图 ， 第二 步 的计 算机框 图示 于 图
启动 读入h1(x)、g1(x)、01,、 hz(x)g2(x)、0:、入 计算H、H、G、G 计算F、F, 计算(x)、fx) 分区Ka双线、计算，(x)、f:(x) 计算B1、B2 Acos 0:/cos01 是 A1-6)<<A1+) 否 计算D 打印D 打印f:(x)、i(x) 结束 结束 图1第一步的计算机框图 69
图 第一 步 的计算机框 图
启动 读入i1(x)、f(x)、0,9:, K,△K:8,1 In《x)dxi(x)dx,计算Ke K,=Ki+△K 计算u1(x)、K、r2(x) 计算F,(t、F,(t)、N,(t、N,(I) it算M,(t)、M,(t人、m《x)、mz(x) 计算Bm,Bm, A⊙cos0:/cos91 A1-6骨品<A1+8) nf-i 打印m(x)、m:(x)、n(x)、nz(x) 计算D,E 打印D, 结束 图2第二步的计算机框图 70
启动 读入 、 王 父 ， 、 ， 丈 、 △ 二 各 、 久 州了 … 一 二 盆 冷互 少 ， 计算 。 二 ‘ △ 计算。 。 卜 二 计算 、 七 、 、 针算 、 、 。 ‘ ， 蕊 计算日 、 日 一 睁 “ ‘ 一 “ ， 瓷 《 “ “ ， 打印 。 ， 、 · 。 沈 、 ‘ 、 〔 计算 。 下 打印 ， 了 结束 图 第二 步 的计算机框 图
四、计算实例 1.试样为纯Ni粉（锉粉），在筛选之后，标样于800℃回火两小时，试样于100℃回 火1小时。 2.幅射用Cu阳极，联用石墨晶体单色器。用闪烁管计数。取(200)和(400)两组衍 射线。01=25.9°、02=61.0°。 3.实验测得的h,(x)、g1(x)、h2(x)、g2(x)曲线示于图3。 81(8) h2(x) 图3 4.第一步计算后得到的物理加宽宽曲线，(x)和「2(x)示于图4。区分K.双线后所 得对应于K。:波长的物理加宽曲线f:(x)和f2(x)示于图4。 f(x) f:(x) 图4 5. 第二步计算细化晶粒加宽曲线：(x)、m2(x)和微畸变加宽曲线n:(x)、nz(x), 71
四 、 计算实例 少 ‘之 、 时 。 试样为纯 粉 锉 粉 ， 在 筛选 之后 ， 标样于 ℃回火 两小时 ， ，试 样于 ℃ 回 辐射用 阳 极 ， 联 用 石 墨晶 体 单 色器 。 用 闪烁 管计数 。 取 和 两组衍 射 线 。 。 、 ” 。 实验测 得 的 、 、 、 曲线 示于 图 。 、 图 第一 步计 算后 得到 的 物 理加宽宽 曲线 “ 和 “ 示 于 图 。 区分 。 双线 后所 得对应 于 。 ， 波长 的物 理加 宽 曲线 和 示 于 图 。 ， 图 第二 步计 算细 化晶粒加宽 曲线 ， 、 和 微畸变加宽曲线 、
计算时的精度8=0.1，所得结果示于图5。 八 图5 6.计算得晶粒尺寸：D=171A。 7.计算得微畸变的数值为：e=0.22%。 参考文献 (1)F.W.Jones,Proc:Roy.Soc.London (A),166 (1938),16 (2)B.E.Warren and B.L.Aver bach,J.Appl.Phys.21 (1950),595. 〔3)李华瑞等，治金分析与测试冶金物理测试分册，恤5(1983)，63 (4)A.R.Stokes,Proc.Phys.Soc.,61 (1948),382. A Fourier Synthesis Method of X-Ray Diffraction Profile Analysis for Determination of Grain Size and Microdistortion Li Huarui,Meng Qingen,Di Xiuxuan Abstract This article put forward a Fourier synthesis method of X-ray diffr- action profile analysis for determination of grain size and microdistor- tion.Comparing with the other existing methods,the hy potheses app- lied in this method is minimum. 72
计算时的精度 各 ， 所得结果示于 图 。 砚 盆 计 算得 晶粒尺寸 入 。 计 算得 微畸变的 数 值为 。 二 。 参 考 文 献 〔 〕 几 ， 厄 ， ， 〕 ， ， 仑 ， 〕 李华瑞等 ， 冶 金分析 与测试 冶金物理 测试分册 ， 地 份 〔 〕 ， ， ， 父一 、 了 王 ， ， 一 一 仃 一 、 。 ‘ ，
