因此 1.即|=1 引理8.4.1设A为n阶正交阵,A=a+b为A的一个复特征值(b≠0),X=a+B为对应 的特征向量,其中a,B∈Rn.则a和β正交且la=| 证明因为A(a+Bi)=(a+bi)(a+Bi),所以Aa=aa-b,AB=ba+a.从而 a2+b612-2ab(a,B) B2=(B,B) 2+a212+2ab(a,B) (1)-(2),得 (a,B)=(Aa,AB)=(a2-b2)(a,B)+ab(a2-|2) 由(3),(4),得 (a2-b2-1)(a2-|62)-4ab(a,B)=0 b(a|2-12)+(a2-b2-1)(a,B)=0 其可视为关于(l2-12)和(a,B)的方程组由于 2-b2-1-4ab (a2-b2-12+4a2b2=4b4+4a2b2=4b2(2 因此方程组只有零解,即la|2=12,且(a,B)=0. 因为A为正交阵,因此特征值模长为1,即a2+b2=1,可设a=cos6,b=-sin.这样 CoS bB=(a, B) AB=ba+aB=(a, B) B)=(a,B) 定理4.44设A为n阶正交阵,则存在n阶正交阵T,使 T-AT=T AT= diag(Er, -Es sIn a1 Cos a1 sIn aI COs( 其中 证明对阶数用数学归纳法 当n=1时,显然成立.设当阶数≤n时命题成立 当阶数为n时, (1)若A有一个实特征根λ0,则取其单位特征向量X1,扩为R的标准正交基X1,X2,……,Xn,则 λoB 这里A1是n-1阶方阵,B∈R-1.令T1=(X1,X2,…,Xn)则 Ao B= λλ¯ = 1. H |λ| = 1. ✷ vl 8.4.1 A " n RQOO λ = a + bi " A '886PU￾ b 6= 0
X = α + βi "/? 'P0d{Y α, β ∈ R n. K α A β QO~ |α| = |β|. ym =" A(α + βi) = (a + bi)(α + βi), : Aα = aα − bβ, Aβ = bα + aβ. 0 |α| 2 = (α, α) = (Aα, Aα) = a 2 |α| 2 + b 2 |β| 2 − 2ab(α, β) (1) |β| 2 = (β, β) = (Aβ, Aβ) = b 2 |α| 2 + a 2 |β| 2 + 2ab(α, β) (2) (1) − (2), & (a 2 − b 2 − 1)|α| 2 + (b 2 − a 2 + 1)|β| 2 − 4ab(α, β) = 0 (3) 0 (α, β) = (Aα, Aβ) = (a 2 − b 2 )(α, β) + ab(|α| 2 − |β| 2 ) (4) C (3),(4), &  (a 2 − b 2 − 1)(|α| 2 − |β| 2 ) − 4ab(α, β) = 0 ab(|α| 2 − |β| 2 ) + (a 2 − b 2 − 1)(α, β) = 0 {["=F (|α| 2 − |β| 2 ) A (α, β) '3`CF     a 2 − b 2 − 1 −4ab ab a2 − b 2 − 1     = (a 2 − b 2 − 1)2 + 4a 2 b 2 = 4b 4 + 4a 2 b 2 = 4b 2 (b 2 + a 2 ) = 4b 2 6= 0, =3`WDfTH |α| 2 = |β| 2 , ~ (α, β) = 0. ✷ =" A "QOO=PUs" 1, H a 2 + b 2 = 1, [ a = cos θ, b = − sin θ. N5 Aα = aα − bβ = (α, β)  cos θ sin θ  , Aβ = bα + aβ = (α, β)  − sin θ cos θ  , A(α, β) = (α, β)  cos θ − sin θ sin θ cos θ  . el 4.4.4 A " n RQOOKJ n RQOO T , Æ T −1AT = T T AT = diag(Er, −Es,  cos α1 − sinα1 sin α1 cos α1  , · · · ,  cos αl − sinαl sin αl cos αl  ) {Y r + s + 2l = n. ym /RB3>v1 $ n = 1 ,b $R ≤ n rb $R" n  (1)  A D88 P9 λ0, K￾{"$P0d X1, ℄" R n 'Æ\QOE X1, X2, · · · , Xn, K A(X1, X2, · · · , Xn) = (X1, X2, · · · , Xn)  λ0 β O A1  . N` A1  n − 1 R3O β ∈ R n−1 . h T1 = (X1, X2, · · · , Xn), K T −1 1 AT1 =  λ0 β O A1  = B. 3