第十五章正交曲面坐标系 第1页 第十五章正交曲面坐标系 要能应用分离变量法,取决于两个条件:一个是所讨论的空间区域形状,一个是定 解问题的数学形式 如果限于第十二章中所涉及的几种典型齐次方程,可以用 Helmholtz方程 v2u+k2u=0 统一描述它们的空间部分,这个方程在直角坐标系中是可以分离变量的 对于所讨论的空间区域,总要适当地放置坐标架,使得区域的边界面与坐标面重 合,从而实现齐次边界条件的分离变量 如果我们所要讨论的空间区域,是圆柱形(括它的特殊情形,二维平面上的圆形 区域)或球形,乃至其他更特别的形状,如果仍然选择直角坐标系,无论怎样放置 坐标架,总不能使得区域的边界面全部都和坐标面重合.因此,即使边界条件是齐 次的,也无法分离变量 解决这个问题的办法是选用合适的坐标系 圆形区域,首选平面极坐标系 ·圆柱形区域,首选柱坐标系 ·球形区域,首选球坐标系 在这些坐标系下, Laplace算符的具体形式如何? Helmholtz方程是否可以分离变量?如何分离变量?第十五章 正交曲面坐标系 第 1 页 第十五章 正交曲面坐标系 要能应用分离变量法，取决于两个条件：一个是所讨论的空间区域形状，一个是定 解问题的数学形式． 如果限于第十二章中所涉及的几种典型齐次方程，可以用Helmholtz方程 ∇ 2 u + k 2 u = 0 统一描述它们的空间部分．这个方程在直角坐标系中是可以分离变量的． 对于所讨论的空间区域，总要适当地放置坐标架，使得区域的边界面与坐标面重 合，从而实现齐次边界条件的分离变量． 如果我们所要讨论的空间区域，是圆柱形(包括它的特殊情形，二维平面上的圆形 区域)或球形，乃至其他更特别的形状，如果仍然选择直角坐标系，无论怎样放置 坐标架，总不能使得区域的边界面全部都和坐标面重合．因此，即使边界条件是齐 次的，也无法分离变量． 解决这个问题的办法是选用合适的坐标系： • 圆形区域，首选平面极坐标系 • 圆柱形区域，首选柱坐标系 • 球形区域，首选球坐标系 在这些坐标系下，Laplace算符的具体形式如何？ Helmholtz方程是否可以分离变量？如何分离变量？