151正交曲面坐标系 §15.1正交曲面坐标系 作为这些平面极坐标系、柱坐标系、球坐标系等的概括与推广,可以定义曲面坐标系 x2=(x,y,2),x2=n(x,y,x),x3=(x,y,x) 它的坐标面是三组曲面 常数,x2=常 常数. 空间任意一点的坐标x2,x2,x3),就由过该点的三个坐标面决定,为了保证x2,x2和x3是独立 的,应当要求它们的 Jacobi行列式 axl arl a(1, 22,23)_ax2 ax2 ax2 d(, y ar dy O2/≠0 对于空间的任意一点,如果通过该点的三个坐标面总是互相垂直的,那么,这个坐标系就 称为正交曲面坐标系.例如,在直角坐标系中,过空间任意一点(x0,3o,20)的三个坐标面 就是互相垂直的 为了判断一个坐标系是不是正交曲面坐标系,当然可以直接由坐标系的定义求出坐标面的 矢量来判断.更常用的办法②是计算出弧长③ dy -+d dy dT+ ax2 drd 其中 y ①这里的x2(=1,2,3)中,上标标记空间点的坐标(分量),并不表示方次 ②这种讨论方法的一个优点是可以直接推广到高维空间的情形 ③在微分几何中,更常略去式中的和号,而直接写成 按照 Einstein规则,此式应理解为需对所有重复指标(并且一个是上指标,一个是下指标)求和§15.1 正交曲面坐标系 第 2 页 §15.1 正交曲面坐标系 作为这些平面极坐标系、柱坐标系、球坐标系等的概括与推广，可以定义曲面坐标系① {x 1 , x2 , x3 }， x 1 = ξ(x, y, z), x 2 = η(x, y, z), x 3 = ζ(x, y, z), 它的坐标面是三组曲面 x 1 = 常数, x 2 = 常数, x 3 = 常数. 空间任意一点的坐标(x 1 , x2 , x3 )，就由过该点的三个坐标面决定．为了保证x 1 , x2和x 3是独立 的，应当要求它们的Jacobi行列式 ∂(x 1 , x2 , x3 ) ∂(x, y, z) ≡ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂x1 ∂x ∂x1 ∂y ∂x1 ∂z ∂x2 ∂x ∂x2 ∂y ∂x2 ∂z ∂x3 ∂x ∂x3 ∂y ∂x3 ∂z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 6= 0. 对于空间的任意一点，如果通过该点的三个坐标面总是互相垂直的，那么，这个坐标系就 称为正交曲面坐标系．例如，在直角坐标系中，过空间任意一点(x0, y0, z0)的三个坐标面 x = x0, y = y0, z = z0 就是互相垂直的． 为了判断一个坐标系是不是正交曲面坐标系，当然可以直接由坐标系的定义求出坐标面的 法矢量来判断．更常用的办法② 是计算出弧长③ ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = µ ∂x ∂x1 dx 1 + ∂x ∂x2 dx 2 + ∂x ∂x3 dx 3 ¶2 + µ ∂y ∂x1 dx 1 + ∂y ∂x2 dx 2 + ∂y ∂x3 dx 3 ¶2 + µ ∂z ∂x1 dx 1 + ∂z ∂x2 dx 2 + ∂z ∂x3 dx 3 ¶2 = X i,j=1,2,3 gijdx i dx j , 其中 gij = gji = ∂x ∂xi ∂x ∂xj + ∂y ∂xi ∂y ∂xj + ∂z ∂xi ∂z ∂xj . ①这里的x i (i = 1, 2, 3)中，上标i标记空间点的坐标(分量) ，并不表示方次． ②这种讨论方法的一个优点是可以直接推广到高维空间的情形． ③在微分几何中，更常略去式中的和号，而直接写成 ds 2 = gijdx idx j . 按照Einstein规则，此式应理解为需对所有重复指标(并且一个是上指标，一个是下指标)求和．