§14.1边界条件与初始条件 初始时刻的温度 (x,y,2),(x,y,z)∈ 边界亲件的形式比较多样化,要由具体问题中描述的具体状况决定.总的原则是:边界亲件 应该完全描写边界上各点在任一时刻(t≥0)的状况 弦的横振动如果弦的“两端固定”,则边界条件就是 u=0=0.ul=1=0.t≥0 杆的纵振动若x=0端固定,则x=0端的边界条件仍是 若另一端(x=l)受x方向上的外力作用,单位面积上的力 是F(t).模仿推导方程的办法,在端点x=l处截取一小块 介质,长度为ε.根据 Newton第二定律可知,这一小段介质 P(l-E, ts 所受的合力(外力加内应力),应该等于介质的质量乘以介质 I-e a=l 中某一点的加速度 图14.1端点所受外力与应力平衡 F(tS-P(l-E, t). 其中0≤a≤1.令E→0,并代入 则有 1 F(t) ·如果外力为0,即x=l端是自由的,则 ·如果外力F(t)不是一个确定的已知函数,而是由弹簧提供的弹性力,则 [a(,t) k是弹簧的劲度系数,于是, 热传导问题常见的边界条件有下列几种类型: ★边界上各点的温度已知Wu Chong-shi §14.1 ÐÑÒÓÔÕÖÒÓ × 2 Ø ❃❄♠➶✣Ù➷ u   t=0 = φ(x, y, z), (x, y, z) ∈ V . ➭➯➡➢ ✣ÚÛ ÜÝÞßà✸✴ ➱❲❳❾❿ ❍❚á✣❲❳➆➇â✚✳ ã→äåæç➭➯➡➢ ➤➥➦➧➨➩➭➯➲è➵é➣↔↕➙ (t ≥ 0) →➸➺✳ ê →ëìí ❫❽î✣ ï ðñòó ô ✸❈➞✈❅❆❴P u   x=0 = 0, u   x=l = 0, t ≥ 0. õ →öìí ÷ x = 0 ñòó ✸❈ x = 0 ø✣➞✈❅❆ùP u   x=0 = 0. ÷ ú↔ñ (x = l) û x ⑧ü➲→ýþÿ❷ ✸￾➹✉✁❞✣✥ P F(t) ✳✂✄❦❧✧★✣☎✆✸❥ø✱ x = l ✝✞➍✭✟✠ ♣✰✸✡ ➷✐ ε ✳✖✗ Newton ✘✙✚✛➒❒✸➝✭✟☛♣✰ ❰☞✣✌✥ (✾✥✍ q➾✥) ✸➾➚✎➼♣✰✣✰✏✑➓♣✰ ❍❱✭✱✣✍➴➷✸ ρεS ∂ 2u ∂t2     x=l−αε = F(t)S − P(l − ε, t)S, ✒ 14.1 ✓✔✕✖✗✘✙✚✘✛✜ ❵ ❍ 0 ≤ α ≤ 1 ✳✢ ε → 0 ✸✩✣✤ P = E ∂u ∂x, ❈❂ ∂u ∂x     x=l = 1 E F(t). • ❫❽✾✥✐ 0 ✸✥ x = l ñ æ ✦✧→ ✸❈ ∂u ∂x     x=l = 0. • ❫❽✾✥ F(t) ✪P✭✷✯✚✣ ★❒❭▼✸❖P ➱✩✪✫✬✣✩✭✥✸❈ F(t) = −k u(l, t) − u0 , k P✩✪✣✮➷✯▼✸➼P✸  ∂u ∂x + k E u  x=l = k E u0. ✰✱✲✳✴ ❊✵✣➞✈❅❆❂✶✜✷✸✹✺ç F ➭➯➲è➵→✻✼✽✾✸ u   Σ = φ(Σ, t).