32单连通第一Cdy麦一 第6页 例32计算积分/zdz,n为整数 解当n为界然数时,2”在全平面解析,n+工2”+是限的一个原函数,因此,对于2平面 上的任意一条积分路线,均有 当n=-2,-3,-4,……时,zn在不复变z=0点在。的任意一个单连通区域。解析,其原函数 仍可取为2n+1.因此,仍有 adz=-[bn+-a' 由于下一节3的原因,此结果对于不复变z=0点在。的任意区域均成立 当n=-1时,z-1也是在不复变z=0在。的任一区域。解析,;其原函数应为Iz.因此, 在不复变z=0的任一单连通区域 于要为别意,在一个单连通区域,上面的积分当然与路径无关.;是于有同的单连通 区域,同样的即点与下点也还路径出有同的.分作,从计算的过程,这里的原函数是不值函数, 因此积分值与由a变第且b的方式有关.当限制在不变z=0的一单连通区域时,本是把lnz 限制在某一个单值分枝,故积分值lnb-lna是唯一求定的.积对于不同的单连通区域,本可能 对应于lz的不同单值分枝,因积积分值也本可能不同§3.2 ýþÿ￾✁✂ Cauchy ✄☎ ✞ 6 ✟ ④ 3.2 ❫❴✖✗ Z b a z ndz ✧ n ✱❜✙✤ ❷ ✸ n ✱ ❝❣✙ ✻ ✧ z n ✩❞ ✚✛➹➘✧ 1 n + 1 z n+1 ✘✾✢ ✴●❳★✙✤◆✼✧✉❥ z ✚✛ ✜✢✮✯✴Ù✖✗s✣✧✌✪ Z b a z ndz = 1 n + 1 b n+1 − a n+1 . ✸ n = −2, −3, −4, · · · ✻ ✧ z n ✩ ①✔✕ z = 0 ✳ ✩ ✖ ✢ ✮✯✴●➪❙➶➈➉ ✖ ➹➘✧❬❳★✙ ❡ ❰ ❃✱ 1 n + 1 z n+1 ✤◆✼✧❡✪ Z b a z ndz = 1 n + 1 b n+1 − a n+1 . ❛ ⑦❥q✴❢❣ 3 ✢❳◆✧✼❤P✉❥①✔✕ z = 0 ✳ ✩ ✖ ✢ ✮✯➈➉✌✐✿✤ ✸ n = −1 ✻ ✧ z −1 ❮ ✘ ✩ ①✔✕ z = 0 ✩ ✖ ✢ ✮✴➈➉ ✖ ➹➘✧❛❬❳★✙ à ✱ ln z ✤◆✼✧ ✩ ①✔✕ z = 0 ✢ ✮✴➪❙➶➈➉ ✖ ✧ Z b a dz z = ln b − ln a. ❥✎✱➊❦ ✯ ✧ ✩✴●➪❙➶➈➉ ✖ ✧✜✛✢✖✗✸❣❁st❄❅✤❛✘ ❧➥✪ ♠➠➙➭➯ ➒➓✧♠♥➠♦➡♣q➡✦rst ✉✪ ♠➠✤✥✵ ✤✬❫❴✢✈ ☛✇✧❐❒✢❳★✙✘①❈★✙✧ ◆✼✖✗❈❁ ⑦ a ✕✞❀ b ✢ ✡ã ✪❅✤✸✾② ✩ ①✕ z = 0 ✢ ✴●➪❙➶➈➉ ✖✻ ✧❱✘✭ ln z ✾② ✩③✴●➪❈✗④ ✖ ✧✍✖✗❈ ln b − ln a ✘❩ ✴⑤ ✫✢✤✆✉❥①②✢➪ ❙➶➈➉✧❱ ❰ ✓ ✉ à ❥ ln z ✢①②➪ ❈✗④✧◆✆✖✗❈❮ ❱ ❰ ✓①②✤