§3.3复连通区域的 Cauchy定理 复连通区域的 Cauchy定理如果f(2)是复连通区域G中的单值解析函数,则 f(a)d f(a)d 其中C0,C1,C2,…,Cn是构成复连通区域G的边界的由个分段光滑闭合曲线,C1,C2,……,Cn都复 变在Co的部,积且所有的积分路径走向相同 Q 图36复连通区域的 Cauchy定理 证如图3.6,不妨取C,C1,C2,…,Cn均为逆时直方向.作解当的割线把C1,C2,…,Cn和 Co连结起,从积得且一个单连通区域G,∫(z)在单连通区域G是解析的,因积可以应用单 连通区域的 Cauchy定理 f(z)dz+/f(a)dz+ f f(z)dz+f(a) +/f(z)dz+ f(2)dz+f(a)dz+ +/f(2)dz+∮f(2)dz+/f(2)dz=0 由于f(2)在G单值,故沿同一割线两的积分值 连通区 厂G)a+ 所以 f(a)dz+ f(adz=0 (31) f(a) f(2)d2=∑pf()d (32) 例33计算∮zdz值,n为整数,C的走向为逆时直方向￾✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 7 ✟ §3.3 ✏❹❺❻❼❽ Cauchy ❾❿ ➧➍➎➏➐➽ Cauchy ➾➚ ❖P f(z) ✘✔❙➶➈➉ G ❭✢➪ ❈➹➘★✙✧❆ I C0 f(z) dz = Xn i=1 I Ci f(z) dz, ❬ ❭ C0, C1, C2, · · · , Cn ✘⑥✐✔❙➶➈➉ G ✢Ð❝✢⑦ ● ✗ ✲◗❘➷▼ ✦✣✧ C1, C2, · · · , Cn ❩ ✔ ✕ ✩ C0 ✢ ✖⑧✧✆❀✏✪✢✖✗st⑨ ❵❬②✤ ❋ 3.6 ➼➳➵➸➺Ñ Cauchy ÒÓ Ô ❖ ✃ 3.6 ✧①⑩❃ C0, C1, C2, · · · , Cn ✌✱❴✻❶✡ ❵✤✵❷✸✢✰✣✭ C1, C2, · · · , Cn ✶ C0 ❙❤ Ö❨ ✧✬✆✺❀ ✴●➪❙➶➈➉ G0 ✧ f(z) ✩➪❙➶➈➉ G0 ✖ ✘➹➘✢✧◆✆ ❰Ïàá➪ ❙➶➈➉✢ Cauchy ✫➀✧ I C0 f(z) dz + Z b1 a1 f(z) dz + I C − 1 f(z) dz + Z a1 b1 f(z) dz + Z b2 a2 f(z) dz + I C − 2 f(z) dz + Z a2 b2 f(z) dz + · · · + Z bn an f(z) dz + I C − n f(z) dz + Z an bn f(z) dz = 0. ⑦❥ f(z) ✩ G0 ✖➪ ❈✧✍ ❉ ② ✴ ✰✣❏❸✢✖✗❈❹❬❺❻✧ Z bi ai f(z) dz + Z ai bi f(z) dz = 0. ✏ Ï I C0 f(z) dz + Xn i=1 I C − i f(z) dz = 0, (3.1) I C0 f(z) dz = − Xn i=1 I C − i f(z) dz = Xn i=1 I Ci f(z) dz. (3.2) ④ 3.3 ❫❴ I C z ndz ❈✧ n ✱❜✙✧ C ✢⑨ ❵✱❴✻❶✡ ❵✤