无界多连通区域中p和W的形式为 p(z)=- F,+iInz+在+(e) 2π(1+K) kE-i2Inz+B2+wo日） (9.68) 2π(1+K) 其中E=2四，一2”为所有孔边上外力合力之和， Red)=B G-G 2 -+ir,%和yo为仅含z的负幂次项的Laurent级 4 数。 从P和少的表达式可以看出，对应力边值问题，当每个孔边上的外力合力都为零，或 在无界区域中所有孔边上外力合力之和为零时，应力与材料的弹性常数无关。如果这些条件 不满足，应力只与泊松比有关，而与杨氏模量无关。这种性质称为应力不变性，对各向异性 材料平面问题，也有类似的性质，可应用于复合材料有效性质估计的研究。 习题 9.1证明解析函数的性质： af =f(, e-Te. fg=0。 证 0 9.2由古萨(Goursat)公式导出 200=0+0+0+0+X+7, Ox 2U=[可-9+0-0+X-习]和应力的复数表示。 9.3导出极坐标中应力分量的复数表示， 0,+0g=0.+0,=4ReΦ(z) o。-o,+2ir,e=2e2[EΦ'(z)+Y(z】 9.4导出Kelvin基本解的位移和应力的表达式。 B 9.5取复势函数()=，w(2)=B,AB为复常数，求内半径为a,外半径为b的圆筒， 在均匀内压P。及外压P,作用下的应力分量。 9.6试考察下列复函数所解决的问题： 0=w=： (b)=0,w=igz 9.7具有椭圆孔的薄板，在远场作用有均布剪力q,求复变应力函数(5)和W(S)及孔 边应力及应力集中系数。 提示： 1919 无界多连通区域中ϕ 和ψ 的形式为 0 0 ( ) ln ( ) 2 (1 ) ( ) ( ) ln ( ) 2 (1 ) x y x y F iF z z Az z F iF z z Bz z ϕ ϕ π κ κ ψ ψ π κ ⎧ + =− + + ⎪ ⎪ + ⎨ − ⎪ = ++ ⎪ ⎩ + (9.68) 其 中 () () 1 1 , m m k k x xy y k k F FF F = = = = ∑ ∑ 为所有孔边上外力合力之和， () () () () ( ) Re( ) , 4 2 x y yx A Bi xy σσ σσ τ ∞∞ ∞∞ ∞ + − = =+ ，ϕ0 和ψ 0 为仅含 z 的负幂次项的 Laurent 级 数。 从ϕ 和ψ 的表达式可以看出，对应力边值问题，当每个孔边上的外力合力都为零，或 在无界区域中所有孔边上外力合力之和为零时，应力与材料的弹性常数无关。如果这些条件 不满足，应力只与泊松比有关，而与杨氏模量无关。这种性质称为应力不变性，对各向异性 材料平面问题，也有类似的性质，可应用于复合材料有效性质估计的研究。 习题 9.1 证明解析函数的性质： () () ( ), ( ), 0 f fz fz fz fz zz z ∂∂ ∂ === ′ ′ ∂∂ ∂ 。 9.2 由古萨 (Goursat) 公式导出 2 U z z x ϕ ϕ ϕ ϕχχ ∂ = ++ + + + ′ ′′′ ∂ ， 2 U i zz x ϕ ϕ ϕ ϕχχ ∂ = −+ − + − ⎡ ⎤ ′ ′′′ ⎣ ⎦ ∂ 和应力的复数表示。 9.3 导出极坐标中应力分量的复数表示， 2 4Re ( ) 2 2 [ ( ) ( )] r xy i r r z i ez z z θ θ θ θ σ σ σσ σσ τ +=+= Φ − + = Φ +Ψ ′ 9.4 导出 Kelvin 基本解的位移和应力的表达式。 9.5 取复势函数 () , () B z Az z z ϕ ψ = = ，A B, 为复常数，求内半径为 a ，外半径为b 的圆筒， 在均匀内压 a p 及外压 b p 作用下的应力分量。 9.6 试考察下列复函数所解决的问题： (a) , 4 2 q q ϕ ψ = = z z (b) ϕ = 0, ψ = iqz. 9.7 具有椭圆孔的薄板，在远场作用有均布剪力 q ，求复变应力函数ϕ ζ( )和ψ ζ( ) 及孔 边应力及应力集中系数。 提示：