曲线上标架 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 11曲线与曲线的弧长 单参数向量值映照即可称为曲线,如果在物理区域引入曲线坐标系,则一般先定义参数区域 上的曲线,即 Cx:R3la,月3t→x(t) ∈Rm 再定义物理区域中的曲线 (c(t) Cx: RD[O, BetH X(t)=X(a(t)) ∈R Xm(a(t)) 坐标对参数的变化率为 dXa i X(t+At)-X()dx(ai(t) 物理域中,曲线的弧长可以表示为 (t)dt 在一般曲线坐标系下将有()L=(x()9(),2()g((t)m=9()()(t)所 以在一般曲线坐标系下,弧长公式可以表示为 V9(x()(i( 此处9(x)=(91(x),9g(x)m为度量张量的协变分量 12以弧长为参数的 Frenet标架及其运动方程 引理1.1.如果向量A(t)的模保持不变,则有A(t)⊥A(t)张量分析讲稿谢锡麟 曲线上标架 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 曲线与曲线的弧长 单参数向量值映照即可称为曲线, 如果在物理区域引入曲线坐标系, 则一般先定义参数区域 上的曲线, 即 Cx : R ⊃ [α, β] ∋ t 7→ x(t) =   x 1 (t) . . . x m(t)   ∈ R m. 再定义物理区域中的曲线 CX : R ⊃ [α, β] ∋ t 7→ X(t) = X(x(t)) =   X1 (x(t)) . . . Xm(x(t))   ∈ R m. 坐标对参数的变化率为 dX dt (x) , lim ∆t→0 X(t + ∆t) − X(t) ∆t = DX(x)x˙(t) 物理域中, 曲线的弧长可以表示为 S = ∫ β α     dX dt (t)     Rm dt. 在一般曲线坐标系下, 将有     dX dt (t)     2 Rm = ( x˙ i (t)gi (x(t)), x˙ j (t)gj (x(t))) Rm = gij (x) ˙x i (t) ˙x j (t). 所 以在一般曲线坐标系下, 弧长公式可以表示为 S = ∫ β α √ gij (x(t)) ˙x i(t) ˙x j (t)dt, 此处 gij (x) = ( gi (x), gj (x) ) Rm 为度量张量的协变分量. 1.2 以弧长为参数的 Frenet 标架及其运动方程 引理 1.1. 如果向量 A(t) 的模保持不变, 则有 A˙ (t)⊥A(t). 1