曲线上标架 谢锡麟 证明向量A(t)的模保持不变,即有 d A(t 0,所以有 d da d A(tIR (t),A(t) 所以(A(0,A(O)m=0,即A()⊥A(O Frenet标架是定义在R3空间中的曲线上的标架,此时将曲线上点的坐标记作r以示区分 在定义了曲线的弧长之后,曲线上的每一点都对应一个特定的弧长值,即 d 在本章中,若无特殊说明,使用表示立,而使用r′表示.首先,有 dt (s)=r(s) drdt_f().所以|r()lRs=1 称为切向量.它满足r(s)=a(s)=atas(t)a 根据引理1.1,可得r(s)r(s).于是令"(OR3 n(s T'(sIR3 r(s)lr3 称为主法向量.显然|n(s)l3=1 b(s)=T(s)×n(s) 称为副法向量.显然有|b(s)3=1,而且b(s)⊥r(s),b(s)⊥n(s 综上,曲线每一点上的切向量、法向量以及副法向量可以构成曲线在该点的一个局部标架 (local frame) 切向量:r(s)=r(s) 2.主法向量:m(s) 3副法向量:b6=2(( 、显然, Frenet标架(见图1)是一个正交规范标架.藉此,在曲线上运动的质点,当其运动到某 时,定义在其上的向量(如速度、加速度等)都可以基于当地的 Frenet标架展开,亦即将某向 量表示成切向量、法向量以及副法向量的线性组合.以此,可作为进一步的解析基础. 由于 Frenet标架是局部的,一般沿着曲线而变化,因此需要研究局部标架随曲线弧长的变 化率.为此,先引入以下的定理.张量分析讲稿谢锡麟 曲线上标架 谢锡麟 证明 向量 A(t) 的模保持不变, 即有 d|A(t)| 2 Rm dt = 0, 所以有 d dt |A(t)| 2 Rm = 2 ( dA dt (t), A(t) ) Rm = 0, 所以 ( A˙ (t), A(t) ) Rm = 0, 即 A˙ (t) ⊥ A(t). Frenet 标架是定义在 R 3 空间中的曲线上的标架, 此时将曲线上点的坐标记作 r 以示区分. 在定义了曲线的弧长之后, 曲线上的每一点都对应一个特定的弧长值, 即 s(t) = ∫ t α     dr dξ (ξ)     R3 dξ. 在本章中, 若无特殊说明, 使用 r˙ 表示 dr dt , 而使用 r ′ 表示 dr ds . 首先, 有 ds dt (t) =     dr dt (t)     R3 = |r˙(t)|R3 , 令 τ (s) = r ′ (s), 称为切向量. 它满足 τ (s) = dr ds (s) = dr dt dt ds = r˙(t) |r˙(t)|R3 , 所以 |τ (s)|R3 = 1. 根据引理1.1, 可得 τ ′ (s)⊥τ (s). 于是令 n(s) = τ ′ (s) |τ ′(s)|R3 = r ′′(s) |r ′′(s)|R3 , 称为主法向量. 显然 |n(s)|R3 = 1. 令 b(s) = τ (s) × n(s) = r ′ (s) × r ′′(s) |r ′′(s)|R3 , 称为副法向量. 显然有 |b(s)|R3 = 1, 而且 b(s)⊥τ (s), b(s)⊥n(s). 综上, 曲线每一点上的切向量、法向量以及副法向量可以构成曲线在该点的一个局部标架 (local frame)： 1. 切向量：τ (s) = r ′ (s); 2. 主法向量：n(s) = r ′′(s) |r ′′(s)|R3 ; 3. 副法向量：b(s) = r ′ (s) × r ′′(s) |r ′′(s)|R3 . 显然, Frenet 标架 (见图1) 是一个正交规范标架. 藉此, 在曲线上运动的质点, 当其运动到某 点时, 定义在其上的向量 (如速度、加速度等) 都可以基于当地的 Frenet 标架展开, 亦即将某向 量表示成切向量、法向量以及副法向量的线性组合. 以此, 可作为进一步的解析基础. 由于 Frenet 标架是局部的, 一般沿着曲线而变化, 因此需要研究局部标架随曲线弧长的变 化率. 为此, 先引入以下的定理. 2