曲线上标架 谢锡麟 副法线 法平面 从 面 主法线 密切面 切线 Figure1: Frenet标架示意 定理12(标架运动方程),正交规范标架{1(t),ω2(t),ω3(t)}随变量t而变化,其变化率 可以通过系数矩阵(23)来表示: (a(00)=(c00422 上述方程称为标架运动方程(")是反对称矩阵,亦即==1y 证明由于 心i=9ma d(ui·w) di.u;+’dt ∑nn+∑!nl 2x+g2 基于上述定理, Frenet标架的标架运动方程可以表示为 T'(s)n(s)b(s))=T(s)n(s)b(s))212 0 13 02张量分析讲稿谢锡麟 曲线上标架 谢锡麟 最楫 挨/楫 姿/楫 τ n b 閲 最 䶒 /樅䶒 嫻最䶒 Figure 1: Frenet 标架示意 定理 1.2 (标架运动方程). 正交规范标架 {ω1(t), ω2(t), ω3(t)} 随变量 t 而变化, 其变化率 可以通过系数矩阵 ( Ωij) 来表示： ( ω˙ 1(t) ω˙ 2(t) ω˙ 3(t) ) = ( ω1(t) ω2(t) ω3(t) )   Ω11 Ω12 Ω13 Ω21 Ω22 Ω23 Ω31 Ω32 Ω33   . 上述方程称为标架运动方程, ( Ωij) 是反对称矩阵, 亦即 Ωij = −Ωji. 证明 由于 ω˙ i = ∑ 3 p=1 Ωpiωp , ω˙ j = ∑ 3 q=1 Ωqjωq, 则 d(ωi · ωj ) dt = dωi dt · ωj + ωi · dωj dt = ∑ 3 p=1 Ωpiωp · ωj + ∑ 3 q=1 Ωqjωq · ωi = ∑ 3 p=1 Ωpiδpj + ∑ 3 q=1 Ωqjδqi = Ωji + Ωij = 0. 基于上述定理, Frenet 标架的标架运动方程可以表示为 ( τ ′ (s) n ′ (s) b ′ (s) ) = ( τ (s) n(s) b(s) )   0 −Ω12 −Ω13 Ω12 0 −Ω23 Ω13 Ω23 0   . 3