曲线上标架 谢锡麟 因为r(s)=r"(s)=|r"(s)kn(s),所以有 212=|r"(s)k3,3=0. 令K(s)=|r"(s)3称为曲线该点处的曲率.再引入挠率满足 b(s)=-0(s)n(s) 因此有g23=0(s).挠率σ(s)可以表示为 (s)=-(b(s,n(s)g x rS ds r"(s)12 (r"(s)×r"( (r(s)×r"(s),r"(s) 1 d r"(s)3 ds Ir"(s)lR3(r'()xr(s),r"(s))r3 ()1 (r(s)×r"(s),r"(s) 综上,以弧长为参数的 Frenet标架的运动方程可以表示为 (()n()b()=(x)ms)b0)|0-0( 式中曲率(s)=|r"(s)k3,挠率a(s) (s),r"(s),r"(s)]3 13一般形式的 Frenet标架及其运动方程 设一般形式下的轨迹可以表示为r(t)=r(s(t),在不引起混淆的情况下,可以简单地将r(t) 记作r(t) 在这种情况下,切向量可以表示为 T(1)=r((t)=r(s() r(t) ds r(t)IR3 主法向量n≈、"(s)因此首先计算 r"(s(t)) (t)(s)=(ar(t) r(t) dP(t)g)(le=(),P)/3() 将式|(t)l2s=((t),(t)gs的两端求对t的导数得 d 21(t)lx|(1)a3=2((t),r(t)3,张量分析讲稿谢锡麟 曲线上标架 谢锡麟 因为 τ ′ (s) = r ′′(s) = |r ′′(s)|R3n(s), 所以有 Ω12 = |r ′′(s)|R3 , Ω13 = 0. 令 κ(s) = |r ′′(s)|R3 称为曲线该点处的曲率. 再引入挠率满足 b ′ (s) = −σ(s)n(s), 因此有 Ω23 = σ(s). 挠率 σ(s) 可以表示为 σ(s) = − ( b ′ (s), n(s) ) R3 = − ( d ds ( r ′ (s) × r ′′(s) |r ′′(s)|R3 ) , r ′′(s) |r ′′(s)|R3 ) R3 = − 1 |r ′′(s)| 2 R3 ( r ′′(s) × r ′′(s), r ′′(s) ) R3 − 1 |r ′′(s)| 2 R3 ( r ′ (s) × r ′′′(s), r ′′(s) ) R3 + 1 |r ′′(s)| 3 R3 d ds |r ′′(s)|R3 ( r ′ (s) × r ′′(s), r ′′(s) ) R3 = − 1 |r ′′(s)| 2 R3 ( r ′ (s) × r ′′′(s), r ′′(s) ) R3 = [r ′ (s), r ′′(s), r ′′′(s)]R3 |r ′′(s)| 2 R3 . 综上, 以弧长为参数的 Frenet 标架的运动方程可以表示为 ( τ ′ (s) n ′ (s) b ′ (s) ) = ( τ (s) n(s) b(s) )   0 −κ(s) 0 κ(s) 0 −σ(s) 0 σ(s) 0   , 式中曲率 κ(s) = |r ′′(s)|R3 , 挠率 σ(s) = [r ′ (s), r ′′(s), r ′′′(s)]R3 |r ′′(s)| 2 R3 . 1.3 一般形式的 Frenet 标架及其运动方程 设一般形式下的轨迹可以表示为 rˆ(t) = r(s(t)), 在不引起混淆的情况下, 可以简单地将 rˆ(t) 记作 r(t). 在这种情况下, 切向量可以表示为 τ (t) = τ (s(t)) = r ′ (s(t)) = dr dt (t) dt ds (s) = r˙(t) |r˙(t)|R3 , 主法向量 n(s) = r ′′(s) |r ′′(s)|R3 , 因此首先计算 r ′′(s(t)) = dτ dt (t) dt ds (s) = ( d dt r˙(t) |r˙(t)|R3 ) 1 |r˙(t)|R3 = r¨(t) |r˙(t)| 2 R3 − r˙(t) |r˙(t)| 3 R3 d dt |r˙(t)|R3 . 将式 |r˙(t)| 2 R3 = (r˙(t), r˙(t))R3 的两端求对 t 的导数得 2|r˙(t)|R3 d dt |r˙(t)|R3 = 2 (r¨(t), r˙(t))R3 , 4