第三部分广义积分与级数 §1阶的概念 设x→x时Q(x),v(x)都是无穷小量。 i)若Im0x)=1,则记(x)-w(x(x→x)。称之为等价无穷小 ⅱ)若im=0,则记(x)=((x)(x→x)。称(x)是比v(x)的高阶无 X→x0 v(x) 穷小。 i)若在()/4,则记o(x)=0(x)(x→x)。(注意,此时不 定有v(x)=Oo(x)0<4<9(x)∠B(x)=O(o(x))。特别若在U(x)内 0<A< y(x) <B,则称x→0时φ(x),v(x)是同阶无穷小。 注:严格说来,(q(x),O(q(x))是一个集合,所以ⅱ)、ⅲ)中“=”的意义应理解 为“∈”。 无穷小量具有下列一般性质: 设x→x0时q(x)为无穷小量,则((x)±((x))=(q(x) 2、设xx0时(x),v(x)都是无穷小量,则((x)c(x))=((x)y(x) 3、设img(x)=0,v(x)在N(x)有界,则v(x)(0(x)=(o(x) 若qp(x)=o(v(x)(x→>x),则(x)=O(v(x)(x→x0);反之不然 x→0时o(x)=0(x"),且n>k,则o(x)=(x3):反之不然 若q(x)~v(x)( ),则(x)-(x)=0((x)),(x)-v(x)=(v(x) 例如 0时 sinx-tan x-In(1+x-e xIna,(1+x)-1-ax, 1 (1) O() (sinx)。又如: x-sinx=(x),x-sinx=(x2),但不能由此得出o(x)=(x2)第三部分 广义积分与级数 §1 阶的概念 设 0 x x → 时   ( ) , ( ) x x 都是无穷小量。 ⅰ）若 0 ( ) lim 1 ( ) x x x x  →  = ，则记 0   ( ) ( ) ( ) x x x x → 。称之为等价无穷小。 ⅱ）若 0 ( ) lim 0 ( ) x x x x  →  = ，则记 0   ( ) ( ( )) ( ) x x x x = → 。称 ( ) x 是比  ( ) x 的高阶无 穷小。 ⅲ）若在 0 0 U x( ) 内 ( ) ( ) x A x    ，则记 0   ( ) ( ( )) ( ) x O x x x = → 。（注意，此时不一 定 有 ( ) ( ) ( ( ))0 ( ) x x O x A B x     =      ( ) ( ( )) x O x = ）。 特 别 若 在 0 0 U x( ) 内 ( ) 0 ( ) x A B x      ，则称 x →0 时   ( ) , ( ) x x 是同阶无穷小。 注：严格说来， ( ( )) , ( ( ))   x O x 是一个集合，所以ⅱ）、ⅲ）中“=”的意义应理解 为“  ”。 无穷小量具有下列一般性质： 1、 设 0 x x → 时 ( ) x 为无穷小量，则 ( ( )) ( ( )) ( ( ))    x x x  = 。 2、 设 0 x x → 时   ( ) , ( ) x x 都是无穷小量，则 ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ))     x x x x  = 3、 设 0 0 0 lim ( ) 0 , ( ) ( ) x x   x x N x → = 在 有界，则    ( ) ( ( )) ( ( )) x x x  = 4、 若 0   ( ) ( ( )) ( ) x x x x = → ，则 0   ( ) ( ( )) ( ) x O x x x = → ；反之不然。 5、 若 0 ( ) ( ) , , ( ) ( ) n k x x x n k x x → =  = 时 且 则   ；反之不然。 6、 若 0   ( ) ( ) ( ) x x x x → ，则       ( ) ( ) ( ( )) , ( ) ( ) ( ( )) x x x x x x − = − = 例如： x →0 时 sin tan ln(1 ) 1 x x x x x e + − ， 1 ln x a x a − ，(1 ) 1 x x  + −  ， 1 2 1 cos 2 − x x sin (1) x = ， 2 x x x x + = + ( )， 1 x O x sin ( ) x = ， tan (sin ) x O x = 。又如： x x x − = sin ( )， 2 x x x − = sin ( ) ，但不能由此得出 2 ( ) ( ) x x =