应用举例 1、求极限Iim (-7-)…((2 解:x→1时√-1=+(x--1(x-1) 2、设lmf(x)=0,f(x)-f()=(x)(x→>0)。求证:f(x)=(x)(x→0)。 证:要证ⅤE>0,36>0,当0<x<6时(x)<xE 已知(x)-f(,)<,由此可得(2)-f(2)<6,,n=12…。于是有 ()-f(2)<x(1-,),(x)s/(2)+2x,令n→O即证 3、求极限im(|e'a-1 解:运用的二阶皮亚诺型泰勒展开式即可。 4、求极限lim tan(tan x)-sin(sin x) tan x-sinx 解、tanx=x++(x3),于是有 3 (r) tan(tan x)= tan(x+-+ 3))=x++(x2)+=x+2+(x3)应用举例： 1、 求极限 3 1 1 ( 1)( 1) ( 1) lim ( 2) ( 1) n n x x x x n x → − − − −  − 。 解： x →1 时 1 1 1 ( 1) ( 1) k k x x x k − = + − − 。 2、设 0 lim ( ) 0 , ( ) ( ) ( ) ( 0) x 2 x f x f x f x x → = − = → 。求证： f x x ( ) ( ) = ( 0) x → 。 证：要证       0 , 0 , 当 0   x  时 f x x ( )   。 已 知 ( ) ( ) , 2 x f x f x −   由此可得 1 1 ( ) ( ) , 1,2, 2 2 2 n n n x x x f f n  − − −  = 。于是有 1 ( ) ( ) (1 ) 2 2 n n x f x f x −  −  ， ( ) ( ) 2 2 n x f x f x  +  ，令 n → 即证。 3、求极限 2 5 4 2 0 0 1 1 1 lim ( ) 3 x t x e dt x x x + − → − −  。 解：运用的二阶皮亚诺型泰勒展开式即可。 4、求极限 0 tan(tan ) sin(sin ) lim x tan sin x x → x x − − 。 解、 3 3 tan ( ) 3 x x x x = + + ，于是有 3 3 3 3 3 3 3 2 tan(tan ) tan( ( )) ( ) ( ) 3 3 3 3 x x x x x x x x x x x = + + = + + + = + +