·956· 工程科学学报，第37卷，第7期 控制和模糊控制研究轮式移动机器人轨迹跟踪。然 究同时具有控制输入约束与外部干扰的轮式移动机器 而，模糊规则的建立十分棘手，神经网络的在线或离线 人轨迹跟踪控制问题.本文结合运动学的位姿误差推 学习降低系统实时性，因此智能控制方法与其他控制 导轮式移动机器人轨迹跟踪的动力学误差模型，在建 算法相结合日益流行.比如文献0]采用自递归小波 立动力学误差T$模糊模型基础上，利用分段模糊 神经网络算法近似建立含有不确定性和外部扰动的轮 Lyapunov函数方法和并行分布补偿原理研究了具有控 式移动机器人模型，提出了自适应滑模变控制器.文 制力受限特性和外部干扰的移动机器人轨迹跟踪控制 献D1一13]分别将遗传算法、优化算法与模糊控制相 问题，提出了轮式移动机器人轨迹跟踪模糊H_算法， 结合来研究轨迹跟踪控制.上述文献均假定机器人满 并进行稳定性分析.仿真结果表明了所提方法的有效 足非完整约束，然而在实际环境中，轮式移动机器人会 性和可用性 不可避免地产生滑动，从而破坏非完整约束.针对此 1 问题描述 问题，文献04-16]在考虑打滑因素的基础上，对轮式 移动机器人的轨迹跟踪控制问题进行研究.值得注意 本文研究的轮式移动机器人示意图如图1所示， 的是，轮式移动机器人在实际应用中会存在电机输出 其动力学模型可描述如下四： 力矩饱和与外界干扰等问题，从而降低机器人轨迹跟 x=vcos0, 踪的性能.因此，综合考虑轮式移动机器人系统的非 完整约束特性和控制力受限特性的H,控制问题是具 (1) 有重要理论意义和实际价值的重要问题 =Bu, 另一方面，Takagi和Sugeno于1985年提出的TS 模糊控制能够以任意精度逼近任意连续的非线性函 =B2u2 数-，已逐渐成为解决某些非线性问题强有力的工 式中，(x,Y)为机器人质心坐标，v和ω分别为线速度 具.其基本思路是将非线性系统描述为TS模型，在 和角速度，0为v与X轴的夹角，山1=T1+T2和42= 并行分布补偿(parallel distributed compensation,PDC) T1-T2为系统的控制输入，T1和2分别为后驱动轮电 框架下将满足各个子系统的Lyapunov方程中的公共 机提供的驱动力矩.B,=1/bm,B=1/bl,m与I分别为 矩阵P的求解转换为线性矩阵不等式(linear matrix 轮式移动机器人的质量和转动惯量，21和b分别为驱 inequality,LMI)可行解问题，进而利用凸优化技术进 动轮的轴长和半径.值得指出的是，一般情况下电机 行高效求解四.文献20]基于TS模型，利用并行分 存在输出饱和现象，因此控制变量需满足如下约束： 布补偿原理提出了适用于带有执行机构饱和约束与外 |山，|≤4.si=1,2. (2) 部干扰的轮式移动机器人轨迹跟踪控制算法.然而在 其中山，m为轮式移动机器人允许的控制输入山：的最 实际应用中，随着某些模糊系统规则数目和前提变量 大值. 的增多，线性矩阵不等式的求解难度往往会随之变大， 可能会出现无解的情况，此方法的保守性显而易见。 为解决上述问题，分段模糊Lyapunov函数方法1-四将 模糊空间划分为几个模糊子区域，在任意时刻只有一 个模糊子区域被激活，且处于同一区域的前件变量激 活相同的模糊规则，进而可以在每个子区域上求解 Lyapunov函数来大大降低求解难度.近些年来，分段 模糊Lyapunov函数方法已有诸多研究成果，文献23] 利用分段模糊Lyapunov函数方法研究了具有外部扰 图1轮式移动机器人简化示意图 动的T$模糊系统的稳定问题，但所提定理中的不等 Fig.1 Simplified diagrammatic sketch of WMR 式含有未知矩阵变量乘积的非线性项，不便于利用线 性矩阵不等式工具箱直接进行仿真.文献24]则研究 设轮式移动机器人轨迹跟踪系统状态为q=(x, 了TS模糊系统的稳定性分析和保性能控制.然而到 y,6,,a)T,期望轨迹为q.=(x,y.,6.,,w.)T.下面 目前为止，针对同时具有输入约束控制和外部干扰的 利用运动学位姿误差来推导轮式移动机器人轨迹跟踪 T$模糊系统稳定的研究，特别是面向轮式移动机器 的动力学误差微分方程 人轨迹跟踪问题的研究，尚不多见 轨迹跟踪位姿误差坐标如图2，其中(x。,y。,6)是 基于上述分析，本文对文献20]提出的TS模糊 轮式移动机器人的位姿误差.根据文献26]，位姿误 控制方法进行改进，利用分段模糊Lyapunov函数来研 差方程为工程科学学报，第 37 卷，第 7 期 控制和模糊控制研究轮式移动机器人轨迹跟踪． 然 而，模糊规则的建立十分棘手，神经网络的在线或离线 学习降低系统实时性，因此智能控制方法与其他控制 算法相结合日益流行． 比如文献［10］采用自递归小波 神经网络算法近似建立含有不确定性和外部扰动的轮 式移动机器人模型，提出了自适应滑模变控制器． 文 献［11--13］分别将遗传算法、优化算法与模糊控制相 结合来研究轨迹跟踪控制． 上述文献均假定机器人满 足非完整约束，然而在实际环境中，轮式移动机器人会 不可避免地产生滑动，从而破坏非完整约束． 针对此 问题，文献［14--16］在考虑打滑因素的基础上，对轮式 移动机器人的轨迹跟踪控制问题进行研究． 值得注意 的是，轮式移动机器人在实际应用中会存在电机输出 力矩饱和与外界干扰等问题，从而降低机器人轨迹跟 踪的性能． 因此，综合考虑轮式移动机器人系统的非 完整约束特性和控制力受限特性的 H∞ 控制问题是具 有重要理论意义和实际价值的重要问题． 另一方面，Takagi 和 Sugeno 于 1985 年提出的 T-S 模糊控制能够以任意精度逼近任意连续的非线性函 数［17--18］，已逐渐成为解决某些非线性问题强有力的工 具． 其基本思路是将非线性系统描述为 T-S 模型，在 并行分布补偿( parallel distributed compensation，PDC) 框架下将满足各个子系统的 Lyapunov 方程中的公共 矩阵 P 的求解转换为线性矩阵不等式( linear matrix inequality，LMI) 可行解问题，进而利用凸优化技术进 行高效求解［19］． 文献［20］基于 T-S 模型，利用并行分 布补偿原理提出了适用于带有执行机构饱和约束与外 部干扰的轮式移动机器人轨迹跟踪控制算法． 然而在 实际应用中，随着某些模糊系统规则数目和前提变量 的增多，线性矩阵不等式的求解难度往往会随之变大， 可能会出现无解的情况，此方法的保守性显而易见． 为解决上述问题，分段模糊 Lyapunov 函数方法［21--22］将 模糊空间划分为几个模糊子区域，在任意时刻只有一 个模糊子区域被激活，且处于同一区域的前件变量激 活相同的模糊规则，进而可以在每个子区域上求解 Lyapunov 函数来大大降低求解难度． 近些年来，分段 模糊 Lyapunov 函数方法已有诸多研究成果，文献［23］ 利用分段模糊 Lyapunov 函数方法研究了具有外部扰 动的 T-S 模糊系统的稳定问题，但所提定理中的不等 式含有未知矩阵变量乘积的非线性项，不便于利用线 性矩阵不等式工具箱直接进行仿真． 文献［24］则研究 了 T-S 模糊系统的稳定性分析和保性能控制． 然而到 目前为止，针对同时具有输入约束控制和外部干扰的 T-S 模糊系统稳定的研究，特别是面向轮式移动机器 人轨迹跟踪问题的研究，尚不多见． 基于上述分析，本文对文献［20］提出的 T-S 模糊 控制方法进行改进，利用分段模糊 Lyapunov 函数来研 究同时具有控制输入约束与外部干扰的轮式移动机器 人轨迹跟踪控制问题． 本文结合运动学的位姿误差推 导轮式移动机器人轨迹跟踪的动力学误差模型，在建 立动力学误差 T-S 模糊模型基础上，利 用 分 段 模 糊 Lyapunov 函数方法和并行分布补偿原理研究了具有控 制力受限特性和外部干扰的移动机器人轨迹跟踪控制 问题，提出了轮式移动机器人轨迹跟踪模糊 H∞ 算法， 并进行稳定性分析． 仿真结果表明了所提方法的有效 性和可用性． 1 问题描述 本文研究的轮式移动机器人示意图如图 1 所示， 其动力学模型可描述如下［25］: x · = vcosθ， y · = vsinθ， θ · = ω， v · = β1 u1， ω · = β2 u2        ． ( 1) 式中，( x，y) 为机器人质心坐标，v 和 ω 分别为线速度 和角速度，θ 为 v 与 X 轴的夹角，u1 = τ1 + τ2 和u2 = τ1 － τ2为系统的控制输入，τ1 和 τ2 分别为后驱动轮电 机提供的驱动力矩． β1 = 1 / bm，β2 = l / bI，m 与 I 分别为 轮式移动机器人的质量和转动惯量，2l 和 b 分别为驱 动轮的轴长和半径． 值得指出的是，一般情况下电机 存在输出饱和现象，因此控制变量需满足如下约束: | ui | ≤ui，max，i = 1，2． ( 2) 其中 ui，max为轮式移动机器人允许的控制输入 ui 的最 大值． 图 1 轮式移动机器人简化示意图 Fig． 1 Simplified diagrammatic sketch of WMＲ 设轮式移动机器人轨迹跟踪系统状态为 q = ( x， y，θ，v，ω) T ，期望轨迹为 qr = ( xr，yr，θr，vr，ωr ) T ． 下面 利用运动学位姿误差来推导轮式移动机器人轨迹跟踪 的动力学误差微分方程． 轨迹跟踪位姿误差坐标如图 2，其中( xe，ye，θe ) 是 轮式移动机器人的位姿误差． 根据文献［26］，位姿误 差方程为 · 659 ·