张佳媛等：基于分段模糊Lyapunov函数的轮式移动机器人轨迹跟踪控制 ·957· (7) 根据泰勒公式可知 (u,sin0e）=,sin0。|。o+(u,sin6）a-0~6。=,0e (8) 将式(8)带入式(7)，并在x。=y。=0.=0处线性化，整 理得 (9) 图2轮式移动机器人轨迹跟踪位姿误差坐标 Fig.2 Trajectory tracking posture error coordinate of WMR 结合式(4)、式(5)和式(6)，令 rie=立1+B301, ,x。=y0-D+D,C0s0。, (10) j。=-xew+,sin, (3) on=d2-B402 其中 0=w.-0. i1=-B,山1+B1h.cos0。-t,sin6， (11) 同时，i。=i,-i=B1u1-B1山1=Bu1o。=0,-ù= B2u2-B22=B2u2·则该系统具有外部干扰的动力学 2=-β2u2 (12) 误差微分方程为 将式(9)、式(10)带入式(4)，则轮式移动机器人轨迹 跟踪系统的动力学误差状态方程可转换为 元.=y.w-D+"Cos6。, e=A(t)e+B ir+B,w(t). (13) y.=-xw+v,sine., 其中，e=(x。y6。tew)T为误差状态变量，t=(, 0。=0-w, (4) 立，)T为控制变量，w()的定义同式(4)，且 D。=B1u1+B3101 0 0.01 0 00 w。=B2u2+B,02· -0,0v,00 00 式中，B,=1/m,B,=1/几，w()=(w,w2)T为加在控制 A(t)= 0 0001 B= 00 B2= 输入变量的外部干扰. 0 0000 10 本文旨在研究上述轨迹跟踪误差系统（式(4）)， 0 0000 01 利用分段模糊Lyapunov函数方法和并行分布补偿原 0 0 理设计状态反馈控制器，使其跟踪给定的参考轨迹，并 0 且满足H,性能约束和控制输入约束 0 0 考虑到电机的输出饱和现象，控制变量 2主要结果 B 0 0 -B 2.1轮式移动机器人动力学误差模型 需满足如下约束： 在式(4)中，若x.和0.先于y。趋于0，则y。=0, 1i|≤立msj=1,2. (14) 当y。很大时，系统会不稳定。鉴于此，作如下定义： q=qr+qn=(v,cos00,)T+(v0)T.(5) 其中，心.是系统式(13)所允许的控制输入心的最大值. 2.2基于分段模糊Lyapunov函数的TS模型 其中，9=（知o),q。=(m.a),9:=(,cos0.o,)T为 本节讨论的是利用分段模糊Lyapunov函数建立 假设的中间变量，其期望值为9=(。w)T=(0 系统TS模型的问题.考虑具有外部输入扰动的非线 0)T,令q为qa和期望值9的差值， 性系统，可由有限个IF-THEN规则描述： 9e=9-9B=(Dw）T=（-U。-w)T.(6) R:F专(t）isMi,…,and忘n(t)isM 结合式(4)、式(5)和式(6)可知 THEN(t）=A,(i)x(t）+B:u(t）+B2w(t）, 0 0 0x. y(）=C(t)x(t), 00x x(0)=x。i=1,2,…,z 0 00八 (15)张佳媛等: 基于分段模糊 Lyapunov 函数的轮式移动机器人轨迹跟踪控制 图 2 轮式移动机器人轨迹跟踪位姿误差坐标 Fig． 2 Trajectory tracking posture error coordinate of WMＲ x · e = yeω － v + vrcosθe， y · e = － xeω + vrsinθe， θ · e = ωr － ω { ． ( 3) 同时，v · e = v · r － v · = β1 ur1 － β1 u1 = β1 ue1，ω · e = ω · r － ω · = β2 ur2 － β2 u2 = β2 ue2 ． 则该系统具有外部干扰的动力学 误差微分方程为 x · e = yeω － v + vrcosθe， y · e = － xeω + vrsinθe， θ · e = ωr － ω， v · e = β1 ue1 + β3w1， ω · e = β2 ue2 + β4w2          ． ( 4) 式中，β3 = 1 /m，β4 = 1 / I，w( t) = ( w1 w2 ) T 为加在控制 输入变量的外部干扰． 本文旨在研究上述轨迹跟踪误差系统( 式( 4) ) ， 利用分段模糊 Lyapunov 函数方法和并行分布补偿原 理设计状态反馈控制器，使其跟踪给定的参考轨迹，并 且满足 H∞ 性能约束和控制输入约束． 2 主要结果 2. 1 轮式移动机器人动力学误差模型 在式( 4) 中，若 xe 和 θe 先于 ye 趋于 0，则 y · e = 0， 当 ye 很大时，系统会不稳定． 鉴于此，作如下定义［27］: q = qF + qB = ( vrcosθeωr ) T + ( vcωc ) T ． ( 5) 其中，q = ( v ω) T ，qB = ( vc ωc ) T ，qF = ( vrcosθe ωr ) T 为 假设的 中 间 变 量，其 期 望 值 为 qBr = ( vcr ωcr ) T = ( 0 0) T ，令 qBe为 qB 和期望值 qBr的差值， qBe = qBr － qB = ( vceωce ) T = ( － vc － ωc ) T ． ( 6) 结合式( 4) 、式( 5) 和式( 6) 可知 x · e y · e θ ·          e = 0 ωr 0 － ωr 0 0        0 0 0 xe ye θ        e + － 1 ye 0 － xe        0 － 1  vc ω( ) c + 0 vrsinθe        0  ． ( 7) 根据泰勒公式可知 ( vrsinθe ) = vrsinθe θe = 0 + ( vrsinθe ) ' θe = 0·θe = vr ·θe ． ( 8) 将式( 8) 带入式( 7) ，并在 xe = ye = θe = 0 处线性化，整 理得 x · e y · e θ ·          e = 0 ωr 0 － ωr 0 vr        0 0 0  xe ye θ        e + 1 0 0 0        0 1 vce ω( ) ce ． ( 9) 结合式( 4) 、式( 5) 和式( 6) ，令 v · ce = u槇1 + β3w1， ω · ce = u槇2 － β4w2 { ． ( 10) 其中 u槇1 = － β1 u1 + β1 u1rcosθe － vrωce sinθe， ( 11) u槇2 = － β2 ue2 ． ( 12) 将式( 9) 、式( 10) 带入式( 4) ，则轮式移动机器人轨迹 跟踪系统的动力学误差状态方程可转换为 e · = A( t) e + B1u槇 + B2w( t) ． ( 13) 其中，e = ( xe ye θe vce ωce ) T 为误差状态变量，u槇 = ( u槇1 u槇2 ) T 为控制变量，w( t) 的定义同式( 4) ，且 A( t ) = 0 ωr 0 1 0 － ωr 0 vr 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0              0 0 0 0 0 ，B1 = 0 0 0 0 0 0 1 0              0 1 ，B2 = 0 0 0 0 0 0 β3 0 0 － β              4  ． 考虑到电机的输出饱和现象，控制变量 需满足如下约束: | u槇j | ≤u槇j，max，j = 1，2． ( 14) 其中，u槇j，max是系统式( 13) 所允许的控制输入 u槇j 的最大值． 2. 2 基于分段模糊 Lyapunov 函数的 T-S 模型 本节讨论的是利用分段模糊 Lyapunov 函数建立 系统 T-S 模型的问题． 考虑具有外部输入扰动的非线 性系统，可由有限个 IF-THEN 规则描述: Ｒi : IF ξ1 ( t) is Mi 1，…，and ξq ( t) is Mi q THEN x ·( t) = Ai ( t) x( t) + B1iu( t) + B2iw( t) ， y( t) = Ci ( t) x( t) ， x( 0) = x0，i = 1，2，…，z ( 15) · 759 ·