样本,与S2分别为该样本的样本均值与样本方差,则有 ()x2=1(x1-m)2-x(m (2)7sX-(m-1 S/√n 三、双正态总体的抽样分布 定理4设X~N(A,2)与Y~N(2,a2)是两个相互独立的正态总体,又设 x1X2…X是取自总体X的样本,X与S2分别为该样本的样本均值与样本方差 H1,Y2,…,Y是取自总体Y的样本,F与S2分别为此样本的样本均值与样本方差.再记S是 S2与S2的加权平均,即 则(1)U= (x-)-(-2-No ~F(n1-1,n2-1) 7≈(F- S 2~1(m1+n2-2 四、一般总体抽样分布的极限分布 定义1设F(x)为随机变量Xn的分布函数,F(x)为随机变量X的分布函数,并记C(F) 为由F(x)的全体连续点组成的集合,若 F(x)=F( 则称随机变量Xn依分布收敛于X,简记为 Xn—X或F(x)-F(x) 命题设随机变量X有连续的分布函数,且有 Xn XY 定理5设x1,2,…Xn为总体X的样本并设总体X的数学期望与方差均存在记为 EX=,DX=a2记统计量 T 其中星与S分别表示上述样本的样本均值与样本方差,则有 (1)FU(x)->o(x),(2)Fr.(x) 以上Fn(x),F(x)与x)分别表示Un2Tn与标准正态分布的分布函数 注:定理4成立的条件只是总体的方差存在,这样当样本的容量n充分大时,Un和Tn 都近似地服从标准正态分布,因此在G2已知时,可用Un对进行统计推断;在a2未知时 可用T对μ进行统计推断。 例题选讲样本, X 与 2 S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 (1) ( ) ~ ( ) 1 2 1 2 2 2 X n n i i     = = − (2) ~ ( 1). / − − = t n S n X T  三、双正态总体的抽样分布 定 理 4 设 ~ ( , ) 2 X N 1 1 与 ~ ( , ) 2 Y N 2  2 是两个相互独立的正态总体, 又 设 1 , , , X1 X2  Xn 是取自总体 X 的样本, X 与 2 1 S 分别为该样本的样本均值与样本方差. 2 , , , Y1 Y2  Yn 是取自总体Y的样本, Y 与 2 2 S 分别为此样本的样本均值与样本方差. 再记 2 Sw 是 2 1 S 与 2 2 S 的加权平均, 即 . 2 ( 1) ( 1) 1 2 2 2 2 2 2 1 1 + − − + − = n n n S n S Sw 则 (1) ~ (0,1); / / ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 1 2 N n n X Y U     + − − − = (2) ~ ( 1, 1); 1 2 2 2 2 1 2 1 2 − −         = F n n S S F   (3) 当 2 2 2 2 1 =  =  时, ~ ( 2). 1/ 1/ ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 + − + − − − = t n n S n n X Y T w   四、一般总体抽样分布的极限分布 定义 1 设 F (x) n 为随机变量 Xn 的分布函数, F(x) 为随机变量 X 的分布函数,并记 C(F) 为由 F(x) 的全体连续点组成的集合, 若 lim F (x) F(x), x C(F), n n =   → 则称随机变量 Xn 依分布收敛于 X, 简记为 X X d n ⎯→ 或 F (x) F(x) d n ⎯→ . 命题 设随机变量 X 有连续的分布函数,且有 ⎯→ , ⎯→1, P n d Xn X Y 则 X Y X. d n n ⎯→ 定理 5 设 X X Xn , , , 1 2  为总体 X 的样本,并设总体 X 的数学期望与方差均存在, 记为 ; . 2 EX =  DX = 记统计量 , / , / S n X T n X Un n    − = − = 其中 X 与 S 分别表示上述样本的样本均值与样本方差,则有 (1) ( ) ( ), (2) ( ) ( ), 0 0 F x x F x x d T d Un n ⎯→ ⎯→ 以上 F (x) Un , F (x) Tn 与 (x) 分别表示 Un Tn , 与标准正态分布的分布函数. 注： 定理 4 成立的条件只是总体的方差存在，这样当样本的容量 n 充分大时， Un和Tn 都近似地服从标准正态分布，因此在 2  已知时，可用 Un 对  进行统计推断；在 2  未知时， 可用 Tn 对  进行统计推断。 例题选讲