单正态总体的抽样分布 例1(E01)设X~N(21,2),x1,x2,…,X25为X的一个样本求 (1)样本均值X的数学期望与方差;(2)PX-21k024} 解(1)由于X~N(212),样本容量n=25 所以X~M22于是E(X)=2L,D(X) 0 (2)由x~N(21042).得X-21 故P{|x-21k0.24}=P ≤06}=20.6)-1=04514 0.4 例2(E02)假设某物体的实际重量为4,但它是未知的现在用一架天平去称它,共称 了n次得到X1,X2…,Xn假设每次称量过程彼此独立且没有系统误差,则可以认为这些测 量值都服从正态分布N(A,a2),方差a2反映了天平及测量过程的总精度,通常我们用样本 均值X去估计u,根据定理1,X~M9再从正态分布的3性质知 PlIx-uk 3c.7% 这就是说,我们的估计值x与真值的偏差不超过30/√m的概率为99%,并且随着称量次 数n的增加,这个偏差界限3/√n愈来愈小例如若a=0,n=10.则 1x-k、3×0=P又一k092997%, 10 于是我们以997%的概率断言,X与物体真正重量μ的偏差不超过0.09.如果将称量次数n 增加到100,则 3×0.1 1-k00=Px-k00y297 这时,我们以同样的概率断言,X与物体真正重量山的偏差不超过003 例3(F03)在设计导弹发射装置时,重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的 方差对于一类导弹发射装置,弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布N(,a2),这里 a2=100米2,现在进行了25次发射试验,用S2记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距 离的样本方差试求S2超过50米2的概率 解根据定理2,有(-)5-x2(m-1,于是 P{S2>50}=P (24) =P{x2(24)>12}>Px2(24)>1240l}=0975(查表单正态总体的抽样分布 例 1(E01) 设 ~ (21,2 ), 2 X N 1 2 25 X , X ,  , X 为 X 的一个样本,求: (1) 样本均值 X 的数学期望与方差; (2) P{| X − 21| 0.24}. 解 (1) 由于 ~ (21,2 ), 2 X N 样本容量 n = 25, 所以 , 25 2 ~ 21, 2         X N 于是 E(X) = 21, 0.4 . 25 2 ( ) 2 2 D X = = (2) 由 ~ (21,0.4 ), 2 X N 得 ~ (0,1), 0.4 21 N X − 故          − −  = 0.6 0.4 21 {| 21| 0.24} X P X P = 2(0.6) −1= 0.4514. 例 2 (E02) 假设某物体的实际重量为  , 但它是未知的. 现在用一架天平去称它, 共称 了n次,得到 X X Xn , , , 1 2  . 假设每次称量过程彼此独立且没有系统误差, 则可以认为这些测 量值都服从正态分布 ( , ) 2 N   , 方差 2  反映了天平及测量过程的总精度, 通常我们用样本 均值 X 去估计  , 根据定理 1, ~ , . 2         n X N   再从正态分布的 3 性质知 99.7%. 3 | |        −  n P X   这就是说, 我们的估计值 X 与真值  的偏差不超过 3 / n 的概率为 99.7%,并且随着称量次 数 n 的增加, 这个偏差界限 3 / n 愈来愈小. 例如若  = 0.1, n =10 . 则 {| | 0.09} 99.7%, 10 3 0.1 | | = −          P X −   P X  于是我们以 99.7%的概率断言, X 与物体真正重量  的偏差不超过 0.09. 如果将称量次数 n 增加到 100, 则 {| | 0.03} 99.7%. 100 3 0.1 | | = −          P X −   P X  这时, 我们以同样的概率断言, X 与物体真正重量  的偏差不超过 0.03. 例 3 (E03) 在设计导弹发射装置时, 重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的 方差.对于一类导弹发射装置, 弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布 ( , ) 2 N   , 这里 2 2  =100米 , 现在进行了 25 次发射试验, 用 2 S 记这 25 次试验中弹着点偏离目标中心的距 离的样本方差. 试求 2 S 超过 50 米2 的概率. 解 根据定理 2, 有 ~ ( 1), ( 1) 2 2 2 − − n n S   于是       −  −  = 2 2 2 2 ( 1) ( 1)50 { 50}   n S n P S P        =  100 25 50 (24) 2 P  { (24) 12} 2 = P   { (24) 12.401} 2  P   = 0.975. (查表)