第一章绪论3 第一章绪论 §1.1计算方法的意义 随着现代科学技术的迅速发展，从实际问题中建立起来的数学模型越来越复杂， 由于这些数学模型往往不能容易地求出精确解，于是人们就局限于讨论问题的特殊 情形或简化了的模型，但这样做往往不能满足精度要求.因此，常用的处理方法就是 对较少简化的数学模型运用数值计算方法在计算机上进行数值计算，计算时间的多 少依赖于数值计算的计算量以及所用计算机的运行速度，而计算量的大小又依赖于 所用的数值计算方法与需要达到的精度.因此，要更好更快地解决实际问题中的数学 模型，必须提高人类的计算能力：即计算工具的性能与计算方法效率的总和，计算能 力的提高有赖于双方，我们不但要改进计算机的硬件设备、提高计算机的运行速度， 而且还必须提出具有高精度、低计算量的数值方法.对同一问题来讲，采用不同的数 值计算方法，其计算工作量有时相差非常之大，譬如：对一个n阶的线代数方程组，当 n=20时，若用Gramer法则求解，其乘除法运算次数约需9.7×10”，即使用每秒运 算1亿次的计算机，也要算30多万年，而用Gauss消去法，大约只需2660次乘除法 运算，并且，愈大，两种方法的计算时间相差就愈大，这个例子表明算法的好坏对计 算能力的提高起着重要的作用.在1955年至1975年的20年间，计算机的计算速度 提高了数千倍，而同一时间解决一定规模的椭圆型偏微分方程的数值计算方法的效 率提高了约100万倍，所以，研究和选择好的计算方法是非常重要的. 由于我们讨论的数值计算方法是以计算机作为计算工具的，因此还必须考虑到 有限字长给运算所带来的误差，若用计算机来解决一个实际问题，计算机算出的值与 实际问题的值，往往存在着差异，两者之差称为误差，而引起误差的原因是多方面的， 为了解决一个实际问题，首先必须对这个问题建立合理的数学模型，由于建模时要忽 略某些次要因素，对原始问题进行近似，这个过程中产生的误差称之为模型误差，而 数学模型中包含的若干参量往往是通过观测得到的，这种观测也难免产生误差，称它 为观测误差，然后还要把数学模型运用数值计算方法转换成数值问题，这个过程引起 的误差称为截断误差或方法误差，最后，用计算机对数值问题进行求解时，由于计算 机的有限字长还会产生舍入误差，在上面的所有这些误差中，模型误差和观测误差是 不属于本课程的讨论范围，本课程主要研究从数学模型到数值问题之间的误差，即方 法误差.舍入误差也是我们要研究的，另外，数值计算方法的稳定与否还会影响到舍 绪论 第→章绪论 § 1. 随着现代科学技术的迅速发展，从实际问题中建立起来的数学模型越来越复杂， 由于这些数学模型往往不能容易地求出精确解，于是人们就局限于讨论问题的特殊 情形或简化了的模型，但这样做往往不能满足精度要求.因此，常用的处理方法就是 对较少简化的数学模型运用数值计算方法在计算机上进行数值计算，计算时间的多 少依赖于数值计算的计算量以及所用计算机的运行速度，而计算量的大小又依赖于 所用的数值计算方法与需要达到的精度.因此，要更好更快地解决实际问题中的数学 模型，必须提高人类的计算能力:即计算工具的性能与计算方法效率的总和，计算能 力的提高有赖于双方，我们不但要改进计算机的硬件设备、提高计算机的运行速度， 而且还必须提出具有高精度、低计算量的数值方法.对同一问题来讲，采用不同的数 值计算方法，其计算工作量有时相差非常之大，譬如:对一个 n阶的线代数方程组，当 n=20 求解 乘 除法 7 X 10 1亿次的计算机，也要算 0多万年，而用 s消去法，大约只需 0次乘除法 运算，并且 n愈大，两种方法的计算时间相差就愈大，这个例子表明算法的好坏对计 算能力的提高起着重要的作用.在 5年至 9 7 5年的 0年间，计算机的计算速度 提高了数千倍，而同一时间解决一定规模的椭圆型偏微分方程的数值计算方法的效 率提高了约 0万倍，所以，研究和选择好的计算方法是非常重要的. 由于我们讨论的数值计算方法是以计算机作为计算工具的，因此还必须考虑到 有限宇长给运算所带来的误差，若用计算机来解决一个实际问题，计算机算出的值与 实际问题的值，往往存在着差异，两者之差称为误差，而引起误差的原因是多方面的 为了解决-个实际问题，首先必须对这个问题建立合理的数学模型，由于建模时要忽 略某些次要因素，对原始问题进行近似，这个过程中产生的误差称之为模型误差，而 数学模型中包含的若干参量往往是通过观测得到的，这种观测也难免产生误差，称它 为观测误差，然后还要把数学模型运用数值计算方法转换成数值问题，这个过程引起 的误差称为截断误差或方法误差，最后，用计算机对数值问题进行求解时，由于计算 机的有限字长还会产生舍入误差，在上面的所有这些误差中，模型误差和观测误差是 不属于本课程的讨论范围，本课程主要研究从数学模型到数值问题之间的误差，即方 法误差.舍人误差也是我们要研究的.另外，数值计算方法的稳定与否还会影响到舍