2.3控制系统的复域数学模型 控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条 件下，求解微分方程可以得到系统输出响应的全部时间信息。这种方法直观、准确，但是如 果系统的结构改变或某个参数变化时，就要重新列写并求解微分方程，不便于对系统分析和 设计。 传递函数是在拉氏变换基础上的复数域中的数学模型。传递函数不仅可以表征系统的动 态特性，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛 应用的根轨迹法和频域法，就是以传递函数为基础建立起来的，因此传递函数是经典控制理 论中最基本也是最重要的数学模型。 2.3.1传递函数 1.传递函数的定义 传递函数是在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之 比。 线性定常系统的微分方程一般为 a.ddd)a de()()= al" d司 al 0t+0+0 (2-25) d 式中：c(0为输出：)为输入量：a,an1,a及bn,b1b均为由系统结构、参 数决定的常系数。 在零初始条件下对式(2-25)两端进行拉氏变换，可得相应的代数方程 (a,s+an3+.+a3+a)C(s)=(bns"+bms1++bs+b)R(s)(2-26) 系统的传递函数为 C⊙_b+bS1++65+6=G6 R(s)a,5"+a1s-l+.…+a,5+a0 (2-27) 22 2.3 控制系统的复域数学模型 控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条 件下，求解微分方程可以得到系统输出响应的全部时间信息。这种方法直观、准确，但是如 果系统的结构改变或某个参数变化时，就要重新列写并求解微分方程，不便于对系统分析和 设计。 传递函数是在拉氏变换基础上的复数域中的数学模型。传递函数不仅可以表征系统的动 态特性，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛 应用的根轨迹法和频域法，就是以传递函数为基础建立起来的，因此传递函数是经典控制理 论中最基本也是最重要的数学模型。 2.3.1 传递函数 1．传递函数的定义 传递函数是在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之 比。 线性定常系统的微分方程一般为 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) n n n n n n m m m m m m d c t d c t dc t a a a a c t dt dt dt d r t d r t dr t b b b b r t dt dt dt − − − − − − + + + + = + + + + (2-25) 式中： ct() 为输出； rt() 为输入量； 1 0 an , an− ,...,a 及 1 0 bm , bm− ,...,b 均为由系统结构、参 数决定的常系数。 在零初始条件下对式（2-25）两端进行拉氏变换，可得相应的代数方程 1 1 1 1 0 1 1 0 ( .... ) ( ) ( ... ) ( ) n n m m n n m m a s a s a s a C s b s b s b s b R s − − + + + + = + + + + − − (2-26) 系统的传递函数为 ( ) ... ... ( ) ( ) 1 0 1 1 1 0 1 1 G s a s a s a s a b s b s b s b R s C s n n n n m m m m = + + + + + + + + = − − − − （2-27）