高等数学教案 第六章定积分的应用 例8计算由摆线x=a(t-sin),y=a(1-cos)的一拱，直线y=0所围成的图形分别绕x轴、 y轴旋转而成的旋转体的体积 解所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 V.=m2dk=πa21-cos）2.a1-cos0dh -za(-3cost+3cos21-cos)dt =5π2a3. 所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差.设曲线左半边为x=x) 右半边为xx2y).则 V,=a0)-0d =πna2t-sin)2.asintd-πa2t-sin)2,asintd m"(-sin t)'sin dr 'a 2.平行截面面积为已知的立体的体积 由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面 积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算 A(x) x+dx 取定轴为x轴，且设该立体在过点x=a,x=b且垂直于x轴的两个平面之内，以 A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积， 取x为积分变量，它的变化区间为[a,b].立体中相应于[a,b]上任一小区间[x,x+dk] 的一薄片的体积近似于底面积为A(x),高为的扁圆柱体的体积.即：体积元素为 dV =A(x)dx 于是，该立体的体积为