极值是函数的局部性概念,因此函数的极大值可能小于极小值,极小值可能大于极 大值. 驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点处取得. 第一充分条件 极值的判别法第二充分条件要注意使用条件 极值与最值的关系: 函数的极大值和极小值概念是局部性的如果f(x0)是函数f(x)的一个极大值,那 只是就x0附近的一个局部范围来说,f(x0)是f(x)的一个最大值;如果就f(x)的整个 定义域来说,f(x0)不一定是最大值对于极小值情况类似 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则函数的最大值和最小值一定存在函数的最大 值和最小值有可能在区间的端点取得,如果最大值不在区间的端点取得,则必在开区间 (a,b)内取得,在这种情况下,最大值一定是函数的极大值因此,函数在闭区间[a,]上的 最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者同理,函数在闭区 间a,b上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者 、最大值和最小值问题 设f(x)在(a,b)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为x1,x2,…x2,则比 较J(a,f(x1),f(x2)…,f(x),f()的大小,其中最大的便是函数f(x)在[a,b]上的 最大值,最小的便是函数f(x)在[ab]上的最小值 求最大值和最小值的步骤 (1).求驻点和不可导点 (2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小 那个就是最小值 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值) 例330求函数y=2x3+3x2-12x+14在[-34]上的最大值和最小值 解f(x)=6x2+6x-12解方程f(x)=0得x1=-2,x2=1 由于J(-3)=23,f(-2)=34,f(=7,f(4)=142 因此函数y=2x3+3x2-12x+14在[-34]上的最大值为f(4)=142 最小值为f(1=7 例3=31求函数f(x)=2-3x+2在[-34上的最大值与最小值 的2-3+2x3]24 3x-2x∈(,2) (x)2x-3x∈(-3DU(24) x+3x∈(,2)极值是函数的局部性概念，因此函数的极大值可能小于极小值,极小值可能大于极 大值. 驻点和不可导点统称为临界点. 函数的极值必在临界点处取得. 极值的判别法 要注意使用条件 极值与最值的关系: 函数的极大值和极小值概念是局部性的. 如果 是函数 的一个极大值, 那 只是就 附近的一个局部范围来说, 是 的一个最大值; 如果就 的整个 定义域来说, 不一定是最大值. 对于极小值情况类似. 设函数 在闭区间 上连续, 则函数的最大值和最小值一定存在. 函数的最大 值和最小值有可能在区间的端点取得, 如果最大值不在区间的端点取得, 则必在开区间 内取得, 在这种情况下, 最大值一定是函数的极大值. 因此, 函数在闭区间 上的 最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者. 同理, 函数在闭区 间[a, b]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者. 二、最大值和最小值问题 设 在 内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为 , 则比 较 的大小, 其中最大的便是函数 在 上的 最大值, 最小的便是函数 在 上的最小值. 求最大值和最小值的步骤 (1).求驻点和不可导点; (2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小 那个就是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值) 例3-30 求函数 在 上的最大值和最小值 解 由于 因此函数 在 上的最大值为 最小值为 例3-31 求函数 在 上的最大值与最小值. 解 由于 , 所以