2 CHAPTER1.基础知识 A△B:=(A小B)U(B\A)叫做A与B的对称差集，它表示这两个集合的差别. 关于求和号的使用： ∑f()=f(m)+f(m+1)++f(m): 类似地，也有求积号： f()=f(m)f(m+1)f(n).其中的被称为求和（积）指标， i=m 是一种哑符号」 当然，求和号的使用是为了便于书写，它的上下标也可以多种多样，具体情况会有具 体说明.此外，对于U、∩、取最大值max、取最小值min等运算也可以做类似地上下标以简 化书写 我们使用B(x,r)表示R”中x以为中心，r为半径的球，也被称作邻域， 设f(x)和g(x)为多项式，则f(x川g(x)表示f(x)整除g(x). 组合数在大学中习惯表示为()）-品工e-,值得注意的是，其中的：可以为任 n-1 k0 意实数 对于n∈N,我们定义(2m-1)加=Π2k-1),(2m)川=Π2)， 取整函数[表示不超过x的最大整数，并定义取小数函数{x}:=x一【： 三是恒等的意思，例如一个函数f(x)三c表示恒为常数 在证明的结尾，通常我们会写口或QED表示证明完毕的意思 1.2 映射 数学的研究通常离不开集合，而一个不具有好的性质的集合通常是“无趣的”.我们经常 在那些好的集合内部定义一些结构，例如：代数结构（群、环、域）、拓扑结构（连通、紧 性)等等，而在集合之间需要映射来构造它们的联系 【定义1.1】映射是指两个集合之间元素的相互对应关系 考虑集合A到B的一个映射f:A→B.我们称A为原像集或定义域，B为值域，Imf= f(A):={f(a)∈Bla∈A}为像集.有一些特殊的映射具有良好的性质，比如说： 【定义1.2】单射是指对Vx,y∈A,x≠y,则有f(x)≠f(y) 【定义1.3】满射是指f(A)=B. 【定义1.4】既是单射，又是满射的映射，我们称之为双射 对于单射，我们可以定义它的逆映射，即∫-1如果一个映射不是单射，我们可以对 于b∈B定义它的原像集f-1(b):={a∈Af(a)=b}.显然，当且仅的f为单射时，它的原像 集才至多只有唯一的元素，从而逆映射才有意义：2 CHAPTER 1. 基础知识 A4B := (A\B) S (B\A)叫做A与B的对称差集，它表示这两个集合的差别. 关于求和号的使用： Xn i=m f(i) = f(m) + f(m + 1) + ... + f(n). 类似地，也有求积号： Yn i=m f(i) = f(m)f(m + 1)...f(n). 其中的i被称为求和(积)指标， 是一种哑符号. 当然，求和号的使用是为了便于书写，它的上下标也可以多种多样，具体情况会有具 体说明. 此外，对于 S、 T、取最大值max、取最小值min等运算也可以做类似地上下标以简 化书写. 我们使用B(x, r)表示R n中x以为中心，r为半径的球，也被称作邻域. 设f(x)和g(x)为多项式，则f(x)|g(x)表示f(x)整除g(x). 组合数在大学中习惯表示为  x m  = 1 m! mY−1 k=0 (x − k). 值得注意的是，其中的x可以为任 意实数. 对于n ∈ N ∗，我们定义(2n − 1)!! = Yn k=1 (2k − 1)，(2n)!! = Yn k=1 (2k). 取整函数[x]表示不超过x的最大整数，并定义取小数函数{x} := x − [x]. ≡是恒等的意思，例如一个函数f(x) ≡ c表示恒为常数. 在证明的结尾，通常我们会写 或Q.E.D.表示证明完毕的意思. 1.2 映射 数学的研究通常离不开集合，而一个不具有好的性质的集合通常是“无趣的”.我们经常 在那些好的集合内部定义一些结构，例如：代数结构(群、环、域)、拓扑结构(连通、紧 性)等等，而在集合之间需要映射来构造它们的联系. 【定义1.1】映射是指两个集合之间元素的相互对应关系. 考虑集合A到B的一个映射f : A → B. 我们称A为原像集 或定义域，B为值域，Imf = f(A) := {f(a) ∈ B|a ∈ A}为 像集. 有一些特殊的映射具有良好的性质，比如说： 【定义1.2】单射是指对∀x, y ∈ A，x 6= y，则有f(x) 6= f(y). 【定义1.3】满射是指f(A) = B. 【定义1.4】既是单射，又是满射的映射，我们称之为 双射. 对于单射，我们可以定义它的逆映射，即f −1如果一个映射不是单射，我们可以对 于b ∈ B定义它的原像集f −1 (b) := {a ∈ A  f(a) = b}. 显然，当且仅的f为单射时，它的原像 集才至多只有唯一的元素，从而逆映射才有意义