1.3.等价关系、等价与分拆 3 【定义1.5】映射的复合是指：（fog)(x)=f(g(x) 容易验证，映射的复合满足结合律，但是同样容易举出反例，映射的复合不满足交换 律.由此可知，结合律是更一般的规律.当A、B为数集（狭义地，可以理解为R”或C的子 集)的时候，称为函数.当A、B为一般的集合，称为泛函，在有的学科中也被称为算子 1.3 等价关系、等价与分拆 【定义1.6】集合A中的元素之间的关系~，若具有如下性质，我们称其为等价关系，并记 作x~y: (1)(自反性)对所有a∈A,a~a. (2)(对称性)如果a心b,则ba. (3)(传递性)如果a~b且b~c,则a~c. 【性质1.7】其中的任意两条均不可推出第三条.注意(2)(3)无法推出(1)的反例要找一个元 素在这个集合中没有任意一个元素（包括它本身）和它等价.读者可自行验证， 【定义1.8】我们将集合A分解为若干子集的无交并（即两两不相交的集合之并），称作A的一 个分拆 【定义1.9】对于集合A上的任一元素a,我们定义a所在的等价类[al={b∈Ab~a},即 所有与a等价的元素组成的集合.记A/~为A中所有等价类组成的集合，即A/~:={[aa∈ A(去掉重复项.故A-U[@为A的无交并表示，从而我们由这个等价关系得到了一个 a]EA/~ 分拆.同理，我们可以从任意一个分拆得到一种等价关系，请读者自行完成思考.于是我们 有： 【定理1.10】集合A的分拆与定义在A上的等价关系一一对应. 1.4一些函数的常见性质 1.4.1和差化积与积化和差公式 【定理1.11】（和差化积） sinx+siny=2sinyco E一y x十yE-y COS- 2 cosx cosy =2 cos -COS- 2 x+yx二y +y.2 cosa-cos =-2 sin 2 x-y sin-siny=2 cos- 2 sin- 2 sin 2 【定理1.12】（积化和差）1.3. 等价关系、等价与分拆 3 【定义1.5】映射的复合是指：(f ◦ g)(x) = f ￾ g(x)
. 容易验证，映射的复合满足结合律，但是同样容易举出反例，映射的复合不满足交换 律. 由此可知，结合律是更一般的规律. 当A、B为数集(狭义地，可以理解为R n或C n的子 集)的时候，f称为函数. 当A、B为一般的集合，f称为泛函，在有的学科中也被称为算子. 1.3 等价关系、等价与分拆 【定义1.6】集合A中的元素之间的关系∼，若具有如下性质，我们称其为等价关系，并记 作x ∼ y： (1)(自反性) 对所有a ∈ A，a ∼ a. (2)(对称性)如果a ∼ b，则b ∼ a. (3)(传递性)如果a ∼ b且b ∼ c，则a ∼ c. 【性质1.7】其中的任意两条均不可推出第三条. 注意(2)(3)无法推出(1)的反例要找一个元 素在这个集合中没有任意一个元素(包括它本身)和它等价. 读者可自行验证. 【定义1.8】我们将集合A分解为若干子集的无交并(即两两不相交的集合之并)，称作A的一 个 分拆. 【定义1.9】对于集合A上的任一元素a，我们定义a所在的等价类[a] = {b ∈ A|b ∼ a}，即 所有与a等价的元素组成的集合. 记A/ ∼为A中所有等价类组成的集合，即A/ ∼:= {[a]|a ∈ A}(去掉重复项. 故A = [ [a]∈A/∼ [a]为A的无交并表示，从而我们由这个等价关系得到了一个 分拆. 同理，我们可以从任意一个分拆得到一种等价关系，请读者自行完成思考. 于是我们 有： 【定理1.10】集合A的分拆与定义在A上的等价关系一一对应. 1.4 一些函数的常见性质 1.4.1 和差化积与积化和差公式 【定理1.11】(和差化积) sin x + sin y = 2 sin x + y 2 cos x − y 2 cos x + cos y = 2 cos x + y 2 cos x − y 2 sin x − sin y = 2 cos x + y 2 sin x − y 2 cos x − cos y = −2 sin x + y 2 sin x − y 2 . 【定理1.12】(积化和差)