CHAPTER1.基础知识 sin xsiny=- os(x+y）-cos(x-) coscosy=cos()+cos(-y) 2 sin x cosy= sin(x+y）+sin(x-y） 2 cos asiny= sin(x+y）-sin(x-y) 2 1.4.2双曲函数与反双曲函数 大学中还会接触一类双曲函数.它们的定义如下： 双曲正弦sinh z:= ex-e-x 2 双曲余弦cosha:= ezte-z 2 er-e-z 双曲正切tanh:=e+e 【定理1.13】它们有如下的类似三角函数的常见公式： sinh(x±y)=sinh x coshy±cosh r sinhy cosh(x±y)=cosh x cosh y士sinh x sinhy cosh2x-sinh2x =1 cosh2x+sinh2x=cosh 2x sinh 2x =2 sinhx cosh x. 考虑它们的反函数，下面给出结论，希望读者试着自己推导并求定义域： arcsinh z In(z+Vx2 +1), arccosh z In(x+vx2-1), 1 ,1+x arctanh x =In 2"1-x 最后给出双曲函数与反双曲函数的图像： e 图1,1中由上之下依次是双曲余弦函数、y=2(当x→+∞时它们的公共渐近曲线、双 曲正弦函数， 图1.2中间的是双曲正切函数，上下是它的两条渐进线则=士1. 图1.3上面的是反双曲正弦函数，下面的是反双曲余弦函数.图1.4为双曲正切函数.由 这些函数图像不难得出它们的定义域. ↑y 2 2 -3 -2 -3-2-1 12 3 图1.1双曲正弦与双曲余弦函数 图1.2双曲正切函数4 CHAPTER 1. 基础知识 sin x sin y = − cos (x + y) − cos (x − y) 2 cos x cos y = cos (x + y) + cos (x − y) 2 sin x cos y = sin (x + y) + sin (x − y) 2 cos x sin y = sin (x + y) − sin (x − y) 2 . 1.4.2 双曲函数与反双曲函数 大学中还会接触一类双曲函数. 它们的定义如下： 双曲正弦sinh x := e x − e −x 2 ， 双曲余弦cosh x := e x + e −x 2 ， 双曲正切tanh x := e x − e −x e x + e −x . 【定理1.13】它们有如下的类似三角函数的常见公式： sinh(x±y) = sinh x cosh y±cosh x sinh y cosh(x±y) = cosh x cosh y±sinh x sinh y cosh2 x − sinh2 x = 1 cosh2 x + sinh2 x = cosh 2x sinh 2x = 2 sinh x cosh x. 考虑它们的反函数，下面给出结论，希望读者试着自己推导并求定义域： arcsinh x = ln(x + √ x 2 + 1)， arccosh x = ln(x + √ x 2 − 1)， arctanh x = 1 2 ln 1 + x 1 − x . 最后给出双曲函数与反双曲函数的图像： 图1.1中由上之下依次是双曲余弦函数、y = e x 2 (当x → +∞时它们的公共渐近曲线)、双 曲正弦函数. 图1.2 中间的是双曲正切函数，上下是它的两条渐进线y = ±1. 图1.3上面的是反双曲正弦函数，下面的是反双曲余弦函数. 图1.4为双曲正切函数. 由 这些函数图像不难得出它们的定义域. −3 −2 −1 1 2 3 −2 2 x y −3 −2 −1 1 2 3 −2 2 x y 图1.1 双曲正弦与双曲余弦函数 图1.2 双曲正切函数