然估计量 解:X的密度函数为 2丌G 做然函数为L(x元,)1=a2=g)2 hnL(x1…x,A2)=1(2z)2-ho2(x,-1)2 解似然方程组 ∑(x1-4) hL(x1,…,xn,A,a2)= ∑(x1-/)2 In L(x 0 得=xa2=n-s2 所以A口2的极大似然估计量为=XG2=n-1s 五、估计量的评价标准 1.无偏性 定义:0为待估参数,日=B(x1,X2,…,Xn)为0的估计量,若E(O)=0则称=6(x1X2…,Xn)为0的 无偏估计量 例7证明为总体数学期望E(X)的无偏估计量,S2为总体方差D(x)的无偏估计量 2.有效性 定义:61=61(X1,X2,…,Xn)和62=62(X1,X2…,Xn)为θ的两个无偏估计量,若D(G1)<DO2)则称 61=61(X1X2,…,Xn)是比a2=的2(Xx1,X2,…,xn)有效的无偏估计量 例8证明x是线性无偏估计量C1X1+C2X2+…+CnXn,∑C1=1中最有效的然估计量 解：X 的密度函数为 2 2 2 ( ) 2 2 1 ( , , )      − − = x f x e 2 1 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 1 2 ( ) 2 1 (2 ) ( ) 2 1 ( , , , , )           = = = − − − − = − −  n i i i x n n n i x n 似然函数为 L x  x e e 2 1 2 2 2 2 1 2 ( ) ln 2 ln ( , , , , ) ln( 2 )        − = − − = − n i i n n x n L x  x 解似然方程组          =  − = − +   =  − =   = = 0 2 ( ) 2 ln ( , , , , ) 0 ( ) ln ( , , , , ) 4 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1            n i i n n i i n x n L x x x L x x   2 1 2 ˆ , ˆ s n n x − 得  =  = 2 2 1 2 , ˆ , ˆ S n n X − 所以   的极大似然估计量为  =  = 五、估计量的评价标准 1． 无偏性 定义：θ为待估参数， ( , , , ) ˆ ˆ  = X1 X2  Xn 为θ的估计量，若 ) = ˆ E( 则称 ( , , , ) ˆ ˆ  = X1 X2  Xn 为θ的 无偏估计量 例 7 证明 X 为总体数学期望 E(X) 的无偏估计量, 2 S 为总体方差 D(X) 的无偏估计量 2． 有效性 定义： ( , , , ) ˆ ˆ 1 =1 X1 X 2  X n 和 ( , , , ) ˆ ˆ  2 = 2 X1 X 2  X n 为θ的两个无偏估计量，若 ) ˆ ) ( ˆ ( D  1  D  2 则称 ( , , , ) ˆ ˆ 1 =1 X1 X 2  X n 是比 ( , , , ) ˆ ˆ  2 = 2 X1 X 2  X n 有效的无偏估计量 例 8 证明 X 是线性无偏估计量 C1X1 +C2X2 ++Cn Xn ， 1 1  = = n i Ci 中最有效的