。698 北京科技大学学报 第32卷 简化为在均布径向荷载作用下的圆弧拱由于破碎 一理想共曲线 带岩体的非连续性，故将这种由破碎带岩块锚固起 来的拱（该拱相对于弧半径和上面所支撑的松散体 而言可以看成是一个薄壁)看成有几何缺陷的圆弧 拱.下面利用屈曲理论及薄膜理论对这种拱结构的 实际拱曲线 机理进行研究. 1基本假设 图2破碎带锚固拱几何缺陷的分布示意图 按照经典屈曲理论及薄膜理论，在确定拱 Fg 2 Distrbution scheme of renforoed arch with geometry defect 的弹性屈曲荷载时作基本假定：①前屈曲变形假设 衡方程，再由拱轴中心线不可压缩得出屈曲临界 为线性，从而使应力计算线性化：②采用刚塑性体模 荷载， 型假设：③屈曲前位移对屈曲行为的影响忽略不计： ④拱与两帮的连接为固支. Lπ2EI o()2E1 Q 如图1、图2所示，假设主轴指向圆弧中心，那 （922 （92)2 (4) 式中，N为轴向力，Q为径向力，为圆弧拱长，参数 么拱上任意一点P的纵向应变可以表示为： 随张开角a的增大而增大.2a=180°时k=1.5 Ep=Eb十Em (1) 式中，Eb为弯曲应变，em为薄膜应变.e=yk= 2aα=0时上式变为柱的屈曲临界荷载. 当这个固结拱在上覆破碎岩块荷载达到一定程 Y装=w-+N+()= 度时，拱结构就会出现跳跃屈曲，由于拱结构屈曲前 《)/d()"=d()/表示角度坐标0的微 的变形己出现非线性，因此考虑非线性的影响来求 分，为P点在拱截面的纵向坐标为拱轴径向位 解以下临界屈曲荷载. 移，w为拱轴切线方向的位移，VR=wR 2超前锚固拱的屈曲临界荷载 分别为径向和轴向的量纲1位移，2a为展开角，R 为圆弧拱半径，为角坐标为曲率的变化值.考 本文考虑了破碎锚固岩体的轴向应变和曲率变 虑薄膜应变对曲率的影响时，弯曲应变可变换为： 化，由虚功原理和变分原理来研究这种拱的屈曲临 6=7+y 界荷载.破碎锚固岩体拱的几何缺陷分布如图2所 R (2) 示.实际拱轴线与理想拱轴线之间的差值为： 然后如图1和图2所示，由系统总能量二阶变 1y0=0 (5) 分等于零可得出拱面内屈曲的能量方程为⑧-四： 式中，D0表示满足式(5的任意缺陷分布，为径向 分1iE峰m-y+是4+ 缺陷分布函数，它在[一a,α]范围内是连续的光滑 Q6V+6w)21R0=0 (3) 函数，设Y0)和W0)分别为拱轴上任意一点P的 式中，ELAQ和α分别为弹性模量、截面惯性 径向和轴向的位移，由于轴向变形、在屈曲前很小， 矩、截面面积、总的应力和拱的开角的12 轴向变形对径向变形的影响可忽略.当存在图2所 对式(3)进行分步积分求出径向和轴向屈曲平 示的几何缺陷时，由拱的变形理论可知应变e和曲 率变化纷别为e= (W-V-D(V+D2] 2R + [+],=[--[周，量 纲1化 t-w-wVD+3(V).k--R (6) 式中，D=D/R为量纲1几何缺陷.用能量原理考虑 拱的面内屈曲特性时，和不考虑几何缺陷的情形一 图1破碎带锚固拱的内力及位移 样，拱上任意一点P总的轴向应变为薄膜应变和弯 FgI Displacement and nte mal force of the re nforced arch 曲应变之和，如同式(1，这里北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 简化为在均布径向荷载作用下的圆弧拱, 由于破碎 带岩体的非连续性, 故将这种由破碎带岩块锚固起 来的拱 (该拱相对于弧半径和上面所支撑的松散体 而言可以看成是一个薄壁 )看成有几何缺陷的圆弧 拱 .下面利用屈曲理论及薄膜理论对这种拱结构的 机理进行研究. 1 基本假设 按照经典屈曲理论及薄膜理论 [ 5--7] , 在确定拱 的弹性屈曲荷载时作基本假定 :①前屈曲变形假设 为线性, 从而使应力计算线性化 ;②采用刚塑性体模 型假设 ;③屈曲前位移对屈曲行为的影响忽略不计 ; ④拱与两帮的连接为固支 . 图 1 破碎带锚固拱的内力及位移 Fig.1 Displacementandinternalforceofthereinforcedarch 如图 1、图 2所示, 假设主轴指向圆弧中心, 那 么拱上任意一点 P的纵向应变可以表示为: εp =εb +εm ( 1) 式中, εb 为弯曲应变, εm 为薄膜应变.εb =yk= - y( v″+w″) R , εm =w′-v′+ 1 2 ( v′+w′) 2 , ( ) ′= d( ) /dθ, ( ) ″=d 2 ( ) /dθ 2 表示角度坐标 θ的微 分, y为 P点在拱截面的纵向坐标, v为拱轴径向位 移, w为拱轴切线方向的位移, v=v/R, w=w/R 分别为径向和轴向的量纲 1位移, 2a为展开角, R 为圆弧拱半径, θ为角坐标, k为曲率的变化值 .考 虑薄膜应变对曲率的影响时, 弯曲应变可变换为: εb =yk=- y(v″+v′) R ( 2) 然后如图 1和图 2所示, 由系统总能量二阶变 分等于零可得出拱面内屈曲的能量方程为 [ 8--10] : 1 2 ∫ α -α [ EA( δw′-v′) 2 + EIx R 2 (δv′+δw′) 2 + Qs( δv′+δw′) 2 ] Rdθ=0 ( 3) 式中, E、Ix、A、Qs和 α分别为弹性模量、截面惯性 矩 、截面面积 、总的应力和拱的开角的 1/2. 对式 ( 3)进行分步积分求出径向和轴向屈曲平 图 2 破碎带锚固拱几何缺陷的分布示意图 Fig.2 Distributionschemeofreinforcedarchwithgeometrydefect 衡方程, 再由拱轴中心线不可压缩得出屈曲临界 荷载, N= π 2EIx ( s/2) 2 , Q= ( kπ) 2 EIx (s/2) 2 ( 4) 式中, N为轴向力, Q为径向力, s为圆弧拱长, 参数 k随张开角 α的增大而增大.2α=180°时 k=1.5; 2α=0时上式变为柱的屈曲临界荷载 . 当这个固结拱在上覆破碎岩块荷载达到一定程 度时, 拱结构就会出现跳跃屈曲, 由于拱结构屈曲前 的变形已出现非线性, 因此考虑非线性的影响来求 解以下临界屈曲荷载. 2 超前锚固拱的屈曲临界荷载 本文考虑了破碎锚固岩体的轴向应变和曲率变 化, 由虚功原理和变分原理来研究这种拱的屈曲临 界荷载.破碎锚固岩体拱的几何缺陷分布如图 2所 示.实际拱轴线与理想拱轴线之间的差值为: ∫ α -α D( θ) =0 ( 5) 式中, D(θ)表示满足式 ( 5)的任意缺陷分布, 为径向 缺陷分布函数, 它在 [ -α, α]范围内是连续的光滑 函数, 设 v(θ)和 w( θ)分别为拱轴上任意一点 P的 径向和轴向的位移, 由于轴向变形 、在屈曲前很小, 轴向变形对径向变形的影响可忽略.当存在图 2所 示的几何缺陷时, 由拱的变形理论可知应变 ε和曲 率变化 k分别为 ε= ( w′-v′-D) R + (v′+D′) 2R 2 - ( -D) R + ( D′) 2 2R 2 , k= - v″+D″ R 2 - - D″ R 2 , 量 纲 1化得, ε=w′-v+v′D′+ 1 2 ( v′) 2 , k=- v′ R , ( 6) 式中, D=D/R为量纲 1几何缺陷 .用能量原理考虑 拱的面内屈曲特性时, 和不考虑几何缺陷的情形一 样, 拱上任意一点 P总的轴向应变为薄膜应变和弯 曲应变之和, 如同式 ( 1), 这里 · 698·