R (xn)=0 Ro 因此,Rx)=o(x-x0) 定理2(带 Lagrange余项的 Taylor公式)设函数∫在点x的某邻域内n+1 阶可微,则在此邻域内成立 f(x)=∑:/(xx-x)+ f(m)(x0+O(x-x0)x-x0) (n+1) 其中0<b 证记R(x)=f()-S1r(xn)(x-x),则有 R(x0)=R(x0) 利用 Cauchy中值定理,可得 R(x) R(x)-R(xo) R(51) (x-x0)(x-x0)(n+1)(51-x0) 其中51介于x与x之间,从而 R(x)R(51)-R(x0) R"(2) (x-x0)(n+1)(51-x0)(n+1)m(2-x0) 其中52介于x0与51之间,从而介于x与x之间。依此类推,即得 R(x)R(n+(2)_fm+() (x-x0)(n+1)!(n+1) 其中ξ介于x与x之间。记5=x0+(x-x0),必有0<<1。这样 (n+)(x R(x) 6(x-x0)) X-x (n+1) 四.两点讨论 (1)带 Lagrange余项的 Taylor公式是 Lagrange中值定理的推广。 (2)如果函数∫的n+1阶导数在(a,b)中有界:|f(x)M, x∈(a,b),x∈(a,b)那末,在(a,b)中有如下的余项估计 R(x)、M (n+1)! 五.定理的一个常用形式: Maclaurin公式 如果x0=0,那末带有以上两种余项形式的Tayo公式又称为 Maclaurin公式, 此即 f(x)=f(0)+f(Ox+…+y"0 +o(x") 和 f(x)=f(0)+f(O)x+…+ f("(0)n,f(at) (0<b<1)。 由此得到近似公式:3 = ! 1 n ( 0 ) 0 ( ) R x  n 。 因此， R(x)    n o (x x )  0 。 定理 2（带 Lagrange 余项的 Taylor 公式） 设函数 f 在点 0 x 的某邻域内 n 1 阶可微，则在此邻域内成立 f (x)  1 0 0 0 ( 1) 0 0 0 ( ) ( ( ))( ) ( 1)! 1 ( )( ) ! 1           n n n i i i f x x x x x n f x x x i  ， 其中 0   1。 证 记 R(x)  f (x)    n i i i f x x x i 0 0 0 ( ) ( )( ) ! 1 ,则有 ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( ) R x0  R x0   R x   n ， ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n  . 利用 Cauchy 中值定理，可得 1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       n n x x R x R x x x R x = n n x R ( 1)( ) ( ) 1 0 1      ， 其中 1  介于 0 x 与 x 之间，从而 n n n x R R x x x R x ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 0           = 1 2 0 2 ( 1) ( ) ( )     n n n x R   ， 其中  2 介于 0 x 与 1  之间，从而介于 0 x 与 x 之间。依此类推，即得 1 0 ( ) ( )   n x x R x = ( 1)! ( ) ( 1)   n R n  = ( 1)! ( ) ( 1)   n f n  ， 其中  介于 0 x 与 x 之间。记 ( ) 0 0   x  x  x ，必有 0   1 。这样 1 0 0 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ( )) ( )        n n x x n f x x x R x  。 四．两点讨论 （1） 带 Lagrange 余项的 Taylor 公式是 Lagrange 中值定理的推广。 （2） 如果函数 f 的 n 1 阶 导 数 在 (a,b) 中有界： f x M n   | ( ) | ( 1) , x(a,b) , 0 x (a,b) 那末，在 (a,b) 中有如下的余项估计： | R(x)| 1 0 | | ( 1)!    n x x n M 。 五．定理的一个常用形式：Maclaurin 公式 如果 0 x = 0，那末带有以上两种余项形式的 Taylor 公式又称为 Maclaurin 公式， 此即 f (x)  f (0)  f (0)x  ( ) ! (0) ( ) n n n x o x n f  和 f (x)  f (0)  f (0)x  n n x n f ! (0) ( ) + 1 ( 1) ( 1)! ( )    n n x n f x （ 0   1 ）。 由此得到近似公式：