改设为条件收敛,试举出反例说明[(x)g(x)x不一定收敛。 证由img(x)=A,可知当x充分大时有 (x)≤M 从而又有 f(x)g(x)≤M(x)x>G 再由厂(x,根据比较法则便证得∫(x)g(x)收敛。 例如对于条件收敛的[f(x)dx sIn dx g(x)=1+→1(x+∞), 得到 f(x)g(x)dx sInx sin x 由于收敛,而 女。1r/1cos2 显然是发散的,所以(x)g(x)x也是发散的无穷积分 例2证明:当x→>+时,e2dh和xe2)是等价无穷小量 证显然,lm(xe2)-=0,又因 所以∫∈d收敛,由收敛定义又知(参见§1的(16)式) 这说明当x→+∞时,它们都是无穷小量:下面再来证明它们是等价无穷小量。 借助§1例1和洛必达法则,可得 故结论成立 例3讨论下列反常积分的敛散性: (1) (2) +m改设为条件收敛，试举出反例说明  + a f (x)g(x)dx 不一定收敛。 证 由 g x A x = →+ lim ( ) ，可知当 x 充分大时有 g(x)  M = maxA+1, A−1(x  G), 从而又有 f (x)g(x)  M f (x), x  G. 再由  + a f (x) dx ，根据比较法则便证得  + a f (x)g(x) dx 收敛。 例如对于条件收敛的   + + = 1 sin ( ) dx x x f x dx a 和 1( ), sin ( ) =1+ → x → + x x g x 得到 . sin sin ( ) ( ) 1 2 dx x x x x f x g x dx a  + +         = + 由于 dx x x  + 1 sin 收敛，而   + +       = − 1 1 2 1 cos2 2 sin 1 dx x x x dx x x 显然是发散的，所以  + a f (x)g(x)dx 也是发散的无穷积分。 例 2 证明：当 x→+ 时， 2 2 1 ( ) 2 2 − + −  x x t e dt和 xe 是等价无穷小量。 证 显然， lim ( ) 0; 2 1 2 = − →+ x x xe 又因 lim 0, 2 2 2 = − →+ x x x e 所以 e dx x x  + − 2 2 收敛，由收敛定义又知（参见§1 的（1.6）式）  + − →+ = x t x lim e dt 0. 2 2 这说明当 x→+ 时，它们都是无穷小量；下面再来证明它们是等价无穷小量。 借助§1 例 1 和洛必达法则，可得 1, (1 ) lim ( ) lim 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 = − + − = − − − →+ − + − →+  e x e xe e dt x x x x x t x 故结论成立。 例 3 讨论下列反常积分的敛散性： （1）  +       + − 1 + 2 ; 1 dx x m x m x （2） ; sin 0 2 dx x x  + 