1 解(1)注意这里的「十m与x14(m≠0)都是发散的无穷积分,两者之差没有收敛或发 散的肯定结论。为此,需要先把被积函数合成为一个分式: m(I-m)x+x-n x2+mx+1(x2+m)(x+1) 对于充分大的x,(x)保持与(1-m)相同的正、负号,因此,∫(x)dx收敛与绝对收敛是同一回事。 当m=时,mx/()=1,故/(x减为收敛 当m≠1时,imnx(x)=-m≠=0,故(x)与了(x)x同为发散 (2)这里的g(x)=5x>0,x∈(0+∞),且当m>2时x=0为其瑕点。故设 J dx=[g(x)dx=J,+J 对于J1,当m≤2时为定积分(只要补充定义g(0)=lmg(x)=0,g在[O,1上连续);当2<m<3时, 由于m-2<1,且 lm xg(x)=lim 故此时J收敛:又当m≥3时,由于 故J发散。总之,仅当m<3时,J收敛。 对于J,当m>1时,由于 nx 1 因此J2收敛;而当0<m≤1时,由于 以及」,发散,广cos3收敛,可知此时J2发散;又当m≤0时,由于 sIn x x,[sin2xdx发散 从而J2亦发散。总之,仅当m>1时,J2收敛 综合对J与J2的讨论,当且仅当1<m<3时J为收敛。（3） ; sin cos 2 0    x x dx （4） . 1 cos 11 0 2 dx x x  解 （1）注意这里的  + 1 + 2 dx x m x 与  +  1 + ( 0) 1 dx m x m 都是发散的无穷积分，两者之差没有收敛或发 散的肯定结论。为此，需要先把被积函数合成为一个分式： . ( )( 1) (1 ) 1 ( ) 2 2 2 2 + + − + − = + − + = x m x m x x m x m x m x f x 对于充分大的 x, f (x) 保持与（ 1− m ）相同的正、负号，因此，  + 1 f (x)dx 收敛与绝对收敛是同一回事。 当 m =1 时， lim ( ) 1 2 = →+ x f x x ，故  + 1 f (x)dx 为收敛。 当 m  1 时， lim ( ) = 1−  0 →+ x f x m x ，故   + + 1 1 f (x) dx与 f (x)dx 同为发散。 （2）这里的 0, (0, ) sin ( ) 2  +  = x x x g x  ，且当 m  2 时 x = 0 为其瑕点。故设   = = = + 1 + 0 1 2 1 J g(x)dx g(x)dx J J . 对于 1 J ，当 m  2 时为定积分（只要补充定义 g g x g x (0) lim ( ) 0, 0 = = → 在[0,1]上连续）；当 2  m  3 时， 由于 m − 2 1 ，且 1, sin lim ( ) lim 2 2 0 2 0 = = + → + − → x x x g x x m x 故此时 1 J 收敛；又当 m  3 时，由于      +  = = → + 3, 1, 3, lim ( ) 0 m  m xg x x 故 1 J 发散。总之，仅当 m  3 时， 1 J 收敛。 对于 2 J ，当 m 1 时，由于 , sin 1 2 x x x    因此 2 J 收敛；而当 0  m 1 时，由于   + +  − = 1 1 , 1 cos2 2 1 ( ) dx x x g x dx 以及  +  1 x dx 发散，  +  1 cos2 dx x x 收敛，可知此时 2 J 发散；又当 m  0 时，由于 x x x 2 2 sin sin   ，  + 1 2 sin xdx 发散， 从而 2 J 亦发散。总之，仅当 m 1 时， 2 J 收敛。 综合对 1 J 与 2 J 的讨论，当且仅当 1 m  3 时 J 为收敛