第六章微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒 定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推 断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中 出现了中值“”,虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解,但一般来 说这并不影响中值定理的广泛应用. 1.教学目的与要求:掌握微分中值定理与函数的 Taylor公式并 应用于函数性质的研究,熟练应用L′ Hospital法则求不定式极限, 熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题 2.教学重点与难点: 重点是中值定理与函数的 Taylor公式,利用导数研究函数的 单调性、极值与凸性 难点是用辅助函数解决有关中值问题,函数的凸性. 3.教学内容: §1拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识一罗尔定理,并由 此来讨论函数的单调性. 罗尔定理与拉格朗日定理 定理6.1(罗尔( Rolle)中值定理)设∫满足 (i)在[ab上连续; (i)在(a,b)内可导 (iii)f(a)=f(b)第六章 微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒 定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推 断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中 出现了中值“  ”，虽然我们对中值“  ”缺乏定量的了解，但一般来 说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的 Taylor 公式并 应用于函数性质的研究，熟练应用 L＇Hospital 法则求不定式极限， 熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点： 重点是中值定理与函数的 Taylor 公式，利用导数研究函数的 单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由 此来讨论函数的单调性. 一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设 f 满足 (ⅰ)在 a,b 上连续; (ⅱ)在 (a, b) 内可导; (ⅲ) f (a) = f (b)