现在对于-f(x0)∈①,∈O(0,r)使得f(y)=-f(x),即f(x0+y)=0,从而 x+y∈N().但显然x+y∈O(x0,r),所以O(xa,r)∩N(f)≠②,与所设矛盾 在线性代数、数学分析和微分方程中我们接触过许多有界线性算子的例子,下面举出 些常见的 例1设X=①",Y=①.在第4讲我们已提到,每个m×n阶矩阵A=(a)定义了一 个线性映射T:φ”→φ".反之,对于每个线性算子T:φ”→Φ",各取",⑦m的一组基 1,……, ∑a,1,1≤ 则得到m×n阶矩阵A=(a) 于是,从"到④m的线性算子可以与m×n阶矩阵对应起来 特别地,取m=1便得到Φ"上的线性泛函,它的一般形式是 f(x)=a1x1+…+anxn,Vx=(x1,…,xn)∈q 其中a1…,an是某一组标量 命题有限维线性赋范空间上的每个线性算子都是有界的 证明先设=φ”,X上的范数是欧氏范数,e1,…,en是X的一组基底,则对于任何 X y =∑x4ek Te4是Y中确定的元,T完全由Te4确定.由范数的三角不等式与 Minkowski不等式, 由定理1(5),T是有界的.由第一章第6讲知道,X上的任一范数都等价于欧氏范数,故结 论对于X上的任一范数成立。 例2(第二型 Fredholm积分算子)设(g,∑,p)是测度空间,K(s,)是在 (2×92,∑x,μ×)上可测的二元函数,满足 L'=JIK(s, Dl du(s)du(0)<o 定义T:L2()→L(),其中Tx=y时现在对于 , ( ) − f x0 ∈Φ ) ∃y ∈O(0,r 使得 ( ) ( ) 0 f y = − f x ，即 , ( ) 0 f x0 + y = 从而 ( ) 0 x + y ∈ N f . 但显然 ( , ) 0 0 x + y ∈O x r ，所以O(x0 ,r) ∩ N( f ) ≠ ∅ ，与所设矛盾. 在线性代数、数学分析和微分方程中我们接触过许多有界线性算子的例子，下面举出一 些常见的. 例1 设 , . n m X =Φ Y =Φ 在第 4 讲我们已提到，每个 m×n 阶矩阵 ( ) A = ai j 定义了一 个线性映射 T： n m Φ →Φ . 反之，对于每个线性算子 T： , n m Φ →Φ 各取 n m Φ ,Φ 的一组基 底 n m e1 , ⋅ ⋅ ⋅, e ; µ1 , ⋅ ⋅ ⋅, µ ； 令 Te i n j m j i = ∑ i j ≤ ≤ = , 1 1 α µ 则得到 m×n 阶矩阵 ( ) A = ai j . 于是，从 n Φ 到 m Φ 的线性算子可以与 m×n 阶矩阵对应起来. 特别地，取 m=1 便得到 n Φ 上的线性泛函，它的一般形式是 n n n n f (x) =α1 x1 +" + α x , ∀x = (x1 ,", x )∈Φ （3） 其中α α n , , 1 " 是某一组标量. 命 题 有限维线性赋范空间上的每个线性算子都是有界的. 证 明 先设 X= n Φ ，X 上的范数是欧氏范数， n e , , e 1 " 是 X 的一组基底，则对于任何 x ∈X, , 1 ∑= = n k k k x x e , 1 k m k Tx ∑ xkTe = = Tek 是 Y 中确定的元，T 完全由Tek 确定. 由范数的三角不等式与 Minkowski 不等式， ( ) ( ) ( ) , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 Tx x Te Te x Te x n k k n k k n k k k n k ∑ k ∑ ∑ ∑ = = = = ≤ ≤ = 由定理 1(5)，T 是有界的. 由第一章第 6 讲知道，X 上的任一范数都等价于欧氏范数，故结 论对于 X 上的任一范数成立。. 例 2 (第二型 Fredholm 积分算子) 设 (Ω, Σ, µ)是测度空间， K(s,t) 是在 (Ω×Ω, Σ×Σ，µ×µ)上可测的二元函数，满足 ( , ) ( ) ( ) . 2 2 = ∫∫ < ∞ × L K s t dµ s dµ t Ω Ω 定义 : ( ) ( ), 2 2 T L µ → L µ 其中Tx = y 时