y(s)=|K(s,)x()d() 则T是有界线性算子 这里,首先TX∈(),事实上由 Holder不等式 ly(s du(s)=K(s, t)x(Odu(o) du(s) ≤()d(s)duoj|xs)ds 故y∈L2()其次,容易验证T是线性的.最后,T是连续的,因为(5)表明 2=|y2≤L|(2,V 例3设算子T:"→l满足当Tx=y,x=(xn),y=(yn)时 yn=∑ ankle,n 这里(am)是无穷矩阵,满足c=∑∑|am<,则T是有界的 直接计算表明 A-p1∑ax△ub= 线性是容易验证的,由定理1,T有界 算子的有界性不仅与算子自身的构造有关,而且与空间有关,这一点应引起足够重视 例4(1)先设C[O,是在[O,1中一阶导数连续的函数全体,其中的范数是 Ilo=max(maxl(), maxI()B 考虑微分算子D:C[0,1→CI0,1, D)=X(1),vt∈[0,1 由于 D是有界线性算子 (2)仍考虑如(1)的函数全体,但以|=max()作为其中的范数,记此空间为 C[O,1.同样对于微分算子D,取元素序列xn()=t",则( ) ( , ) ( ) ( ). ∫ = Ω y s K s t x t dµ t （4） 则 T 是有界线性算子. 这里，首先 2 Tx L ∈ ( ) µ ，事实上由 Holder 不等式 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) 2 2 y s dµ s K s t x t dµ t dµ s Ω Ω Ω ∫ ∫ ∫ = ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 K s t dµ s dµ t x s dµ s Ω Ω Ω ∫∫ ∫ × ≤ , 2 2 2 = L x （5） 故 ( ). 2 y ∈ L µ 其次，容易验证 T 是线性的. 最后，T 是连续的，因为（5）表明 , ( ) 2 2 2 2 Tx = y ≤ L x ∀x ∈ L µ ． 例 3 设算子 1 T :l → l ∞ 满足当 , ( ), ( ) n n Tx = y x = x y = y 时 , 1. 1 = ∑ ≥ ∞ = y x n k n α nk k 这里( ) α nk 是无穷矩阵，满足 1 1 , nk n k c α ∞ ∞ = = = <∞ ∑∑ 则 T 是有界的. 直接计算表明 ∞ ∞ = ≥ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = Tx = ∑ y = ∑ ∑ x ≤ ∑∑ x = c x n k k k nk n n nk k n n 1 1 1 1 1 1 1 α ( α )(sup ) ． （6） 线性是容易验证的，由定理 1，T 有界. 算子的有界性不仅与算子自身的构造有关，而且与空间有关，这一点应引起足够重视. 例4 (1) 先设 [0,1] (1) C 是在 ] [0,1 中一阶导数连续的函数全体，其中的范数是 max{max ( ), max '( )}. 0 1 0 1 (1) x x t x t ≤t≤ ≤t≤ = 考虑微分算子 : [0,1] (1) D C →C[0,1] ， ] Dx(t) = X '(t), ∀t ∈[0,1 （7） 由于 Dx = (1) 0 1 max x'(t) x t ≤ ≤ ≤ , ∀x ∈ [0,1] (1) C D 是有界线性算子. (2) 仍考虑如（1）的函数全体，但以 max ( ) 0 1 x x t ≤t≤ = 作为其中的范数，记此空间为 [0,1] ~ C ．同样对于微分算子 D，取元素序列 ( ) , n n x t = t 则