=.|Dxl=maxr“|=n.n21 所以D:C[O,1→C0,n不是有界线性算子 我们称T:X→Y是0算子,若Vx∈X,Tx=0.称T:X→X是单位算子(恒等算子), 若Wx∈X,Tx=x.前者记为0,后者记为L 在理论和实际应用中,有时仅考虑单个的有界算子是不够的,还要考虑有界算子族. 设X,Y为线性赋范空间,记B(X,Y)是从X到y中的有界线性算子全体,像定义函数空间的 线性运算那样定义B(X,Y)中的加法和数乘,容易知道B(X,Y是线性空间.当X=y时,记 B(X,Y)为B(X 特别地,X上的连续线性泛函的全体记为*,称*是X的共轭空间 定理2对于每个T∈B(x1,令‖=Sup|7x,则·‖是B(x,n上的范数 证明 1°易知‖T"20.若=0,则vx∈X|sL.x=0.此时x∈Xx,x≠0T(m)=0 从而Tx=0.于是T=0 2°实际计算知道 JaT=sup aTx=asup x=al 若T1,T2∈B(X,Y),则 IT+T2=sup(T,+T2)x<sup(T-r+T2*b 故‖·‖是B(X,Y)上的范数 定理3若T∈BX,Y,则Vδ>0, sup x 证明实际上 冒- =suplEx s supers.sup ≤sup 1/,x=0 思考题 若T∈B(X,Y,则|7=sup‖1, max , 1 1 0 1 = = = ≥ − ≤ ≤ x Dx nt n n n t n n 所以 D : [0,1] ~(1) C →C [0,1] 不是有界线性算子. 我们称T : X → Y 是 0 算子，若∀x∈ X , Tx = 0. 称T : X → X 是单位算子（恒等算子）， 若 ∀x∈ X, Tx = x. 前者记为 0， 后者记为 I.． 在理论和实际应用中，有时仅考虑单个的有界算子是不够的，还要考虑有界算子族. 设 X，Y 为线性赋范空间，记 B(X,Y)是从 X 到 Y 中的有界线性算子全体，像定义函数空间的 线性运算那样定义 B(X,Y)中的加法和数乘，容易知道 B(X，Y) 是线性空间. 当 X=Y 时，记 B(X,Y)为 B (X). 特别地，X 上的连续线性泛函的全体记为 X*，称 X*是 X 的共轭空间． 定理 2 对于每个 T∈B(X,Y), 令 1 sup x Tx Tx ≤ = ，则‖ ‖· 是 B(X,Y)上的范数. 证 明 1° 易知‖T‖ ≥0. 若 T = 0 ，则 ∀x∈ X , x ≤1, Tx = 0. 此时 ∀ ∈ , ≠ 0, ( ) = 0. x x x X x T 从而 Tx = 0 ．于是T = 0 ． 2° 实际计算知道 1 1 sup sup . x x α αα α T Tx Tx T ≤ ≤ == = 3° 若 , ( , ) T1 T2 ∈ B X Y ，则 sup sup , sup ( ) sup( ) 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 T x T x T T T T T T x T x T x x x x x ≤ + ≤ + + = + ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ 故‖·‖是 B(X，Y)上的范数. 定理 3 若 T∈B(X,Y), 则 ∀δ > 0, 0 1 sup sup . x x Tx T Tx ≠ = x = = (8) 证 明 实际上 sup sup ( ) sup sup sup sup . 0 0 1 1 1, 0 0 x Tx x Tx Tx Tx x x T x Tx x≠ x≠ x = x ≤ x ≤ x≠ x≠ = = ≤ ≤ ≤ 思考题 1、 若 T∈B(X,Y), 则 1 sup . x T Tx < =