2、若T∈B(X,Y,则v>0,=-Su 定理4若Y是 Banach空间,则B(X,Y)是 Banach空间 特别地,任一线性赋范空间的共轭空间≯是 Banach空间 证明设{Tn}是BXY中的 Cauchy序列,则vg>0,3n0,使得当m,n≥n0时, supT, r =m -<E 此时对于每个x∈x,|s1 卩nx-T叫<E (10) 所以{Tnx}为y中的 Cauchy序列,由于y是完备空间,不妨设 limT.x=y并且记y=Tx,则 T对于x∈x|s1有定义,从而在整个x上有定义由极限运算的线性性质和7的线性, T是线性算子在(1)中固定n≥n0,令m→则 x-Tx≤E 并且由于(11)关于所有x|s1是一致的,从而 卩-钟-,4 (12) 于是T-T∈B(X,Y),但B(x,Y)是线性空间,从而T=(7-7n)+Tn∈B(X,Y).(12)还说 明依照B(X,Y)中的范数 故B(X,Y)完备 为了定性或定量地研究有界线性算子,就需要知道它的范数大小,下面我们给出计算算 子范数的例子 例5考虑空间,不过对于每个x=(x,…x定义|=mx(x小以此作为 上的范数.对于空间φ"情况类似.若映射T:①”→①"与mxn阶矩阵A=(a)对应(见 例1),我们来求T的范数 首先设y=Tx=(n1…:,yn),则2、 若 T∈B(X,Y), 则 ∀δ > 0, 1 sup x Tx δ ≤δ = . 定理 4 若 Y 是 Banach 空间，则 B(X，Y) 是 Banach 空间. 特别地，任一线性赋范空间的共轭空间 X*是 Banach 空间. 证明 设｛Tn ｝是 B(X,Y) 中的 Cauchy 序列，则 0 ∀ε > 0, ∃n , 使得当 0 m, n ≥ n 时， sup . 1 − = − < ε ≤ m n m n x T x T x T T （9） 此时对于每个 x∈ X , x ≤1, T x − T x < ε. m n （10） 所以{T xn }为Y 中的 Cauchy 序列，由于Y 是完备空间，不妨设 T x y n n = →∞ lim 并且记 y = Tx ，则 T 对于 x∈ X, x ≤1有定义， 从而在整个 X 上有定义．由极限运算的线性性质和Tn 的线性， T 是线性算子. 在(11) 中固定 , 0 n ≥ n 令 m → ∞ 则 T x − T x ≤ ε. n (11) 并且由于（11）关于所有 x, x ≤1是一致的，从而 − = − ≤ ε ≤ T T Tx T xn x n 1 sup （12） 于是T T B(X ,Y ), − n ∈ 但 B(X ,Y) 是线性空间，从而T (T T ) T B(X ,Y ). = − n + n ∈ （12）还说 明依照 B(X ,Y) 中的范数 limT T, n n = →∞ 故 B(X，Y)完备. 为了定性或定量地研究有界线性算子，就需要知道它的范数大小，下面我们给出计算算 子范数的例子. 例 5 考虑空间 , n Φ 不过对于每个 ( , , ), 1 n x = x " x 定义 1 max j j n x x ≤ ≤ = , 以此作为 n Φ 上的范数．对于空间 m Φ 情况类似． 若映射 n m T :Φ →Φ 与 m × n 阶矩阵 ( ) i j A = a 对应（见 例 1），我们来求 T 的范数. 首先设 1 (, , ) m y Tx y y = = " ，则