T-x=bl=manly, a,, I, < aimax l≤i≤m IsSn x)=(mx∑p 于是=sp4max, 另一方面,不妨设对于某个i,1≤io≤n 小,取x=(”…x), 其中x=sgna,则1|=1除非a=0,1j≤n,此时所有a,=0从而T=0).于 是 叫=ma∑a,x=∑=mx∑ 总之 例6设an∈,a=∑{l<m,算子T:c→P,当Tx=y,x=(xn)时, y=(a1x1,a2x2,…) 求T的范数 易知T是线性的又 =∑xn≤(∑ an)(max]r,)= 所以|≤a 另一方面,VE>0,存在n,使得∑a>a-E,取 x=(sgna1…, sign a,0,…) 则除去平凡的情况,|0=1,从而 ε是任意的,故最终有 rl=a=∑a 例7(第一型 Fredholm积分算子)设K(s,1)是a≤s,≤b上的连续函数.定义算子 T:Cla,b]→C[a,b∑= ≤ ≤ ≤ ≤ = = = n j i j j i m j i m Tx y y a x 1 1 1 max max 1 11 1 1 (max )(max ) (max ) n n ij j ij im jn im j j a x ax ≤≤ ≤ ≤ ≤≤ = = ≤ = ∑ ∑ 于是 sup max . 1 1 1 ∑= ≤ ≤ ≤ = ≤ n j i j x i m T Tx a 另一方面，不妨设对于某个 ,1 , 0 0 i ≤ i ≤ n ∑ ∑= ≤ ≤ = = n j i j i m n j i j a a 1 1 1 max 0 ．取 ( , , ) (0) (0) 1 (0) n x = x " x ， 其中 j ai j x sign 0 (0) = ，则 1 (0) x = （除非 0 0,1 , i j a jn = ≤ ≤ 此时所有 = 0 i j a 从而T = 0 ）．于 是 ≥ = ∑ ∑= = = = ≤ ≤ n j n j i j j i j i m T Tx a x a 1 1 (0) 1 (0) 0 max ∑= ≤ ≤ n j i j i m a 1 1 max ． 总之 T = ∑= ≤ ≤ n j i j i m a 1 1 max ． 例 6 设 , , 1 ∈ = ∑ < ∞ ∞ n= α n Φ a α n 算子 : , 1 0 T c → l 当Tx = y, ( ) n x = x 时， ( , , ), y = α 1 x1 α 2 x2 " 求T 的范数. 易知T 是线性的. 又 ( )(max ) . 1 1 1 Tx x x a x n n n n n = n n ≤ = ≤ <∞ ∞ = ∞ = ∑ α ∑ α 所以 T ≤ a. 另一方面，∀ε > 0, 存在 0 n ，使得 , 0 1 ∑ α > − ε = a n n n 取 ( , , , 0, ) 0 1 x(0) = sign α " sign α n " 则除去平凡的情况， 1, (0) x = 从而 . 0 1 (0) ≥ = ∑ α > − ε = T Tx a n n n ε是任意的，故最终有 T = a = ∑ ∞ n=1 α n ． 例 7（第一型 Fredholm 积分算子） 设 K(s,t) 是 a ≤ s,t ≤ b 上的连续函数. 定义算子 T :C[a,b] → C[a,b]