7x(s)=K(s,)x( 由于 K(s, I)x(odr K(s, idn )( s( maxk(s))叫 所以 s max k(sa 另一方面,注意到m广K(0)是s的连续函数,不妨设 广k(s,=ma(s 其中a≤s。≤b,取x(0)=sgmK(s,1),则x()在[ab]上可测并且|x6()≤1,但x未 必在Cab]中.根据Lzin定理,E>0,存在连续函数x(),F()s1并且 ∈[a,b;x(1)≠x(t)}<E 从而x∈C1ab|=1,此时 17 e /T==maxr K(s, )F()dr 2 LK(s, )xo(1)dt I-maxI K(s,D)()-xo(0)dr assh ≥C()-mx广k(s列k)-x0)1 广k(sn 这里M=sup|k(1)·E是任意的,故知 IrI=max(k(s, ndr 注意,同样地,算子的范数不仅与算子的具体构造有关,而且与空间的范数有关 例8将(x)=Cx()分别看成Ca和Llb上的线性泛函,计算它们的范数 首先,在C[a,b]上有 V()s x(odi s(b-a)maxx()=(b-all ()=1,则|xl|-1,f( 由此知 若f是L{ab]上的线性泛函,则= ∫ ∀ ∈ b a Tx(s) K(s,t)x(t)dt, x C[a,b] 由于 ∫ ≤ ≤ ≤ ≤ = = b a s b a s b a Tx maxTx(s) max K(s,t)x(t)dt ≤ (max K(s,t) dt)(max x(s)) a s b b a≤s≤b a ≤ ≤ ∫ ≤ ∫ ≤ ≤ b a a s b (max K(s,t) dt ） x 所以 T ≤ ∫ ≤ ≤ b a s b a max K(s,t) dt ． 另一方面，注意到 ∫ ≤ ≤ b a s b a max K(s,t) dt 是 s 的连续函数，不妨设 K s t dt b ∫a ( , ) 0 ＝ ∫ ≤ ≤ b a s b a max K(s,t) dt , 其中 a s b, ≤ o ≤ 取 ( ) ( , ), 0 x t sign K s t o = 则 ( ) 0 x t 在[a,b] 上可测并且 ( ) 1, x0 t ≤ 但 0 x 未 必在 ] C[a, b 中． 根据 Lyzin 定理，∀ε > 0，存在连续函数 ( ) 1 ~ ( ), ~x t x t ≤ 并且 . ( )} ~ m{t ∈[a,b]; x(t) ≠ x t < ε 从而 1, ~ [ , ], ~x ∈C a b x = 此时 ∫ ≤ ≤ ≥ = b a s b a T Tx K s t x(t)dt ~ max ( , ) ~ ∫ ∫ ≥ − − ≤ ≤ ≤ ≤ b a s b a b a s b a K s t x t dt K s t x (t) x (t)dt ~ max ( , ) ( ) max ( , )( 0 0 ≥ − ∫ K s t dt b a ( , ) 0 ∫ − ≤ ≤ b a s b a K s t x (t) x (t) dt ~ max ( , ) ( 0 ≥ − ∫ K s t dt b a ( , ) 0 2Mε. 这里 M sup K(s,t) a t b a s b ≤ ≤ ≤ ≤ = ．ε 是任意的，故知 T K s t dt b a≤s≤b ∫a = max ( , ) ． 注意，同样地，算子的范数不仅与算子的具体构造有关，而且与空间的范数有关. 例 8 将 ∫ = b a f (x) x(t)dt 分别看成C[a, b]和 [ , ] 1 L a b 上的线性泛函，计算它们的范数. 首先，在C[a, b]上有 f x x t dt b a x t b a x a t b b a ( ) ≤ ( ) ≤ ( − ) max ( ) = ( − ) ≤ ≤ ∫ ． 取 ( ) 1, x0 t ≡ 则 x =1, f (x ) = b − a 0 0 ，由此知 f = b − a ． 若 f 是 [ , ] 1 L a b 上的线性泛函，则