《数学分析(1,2,3)》教案 设jx=x(D(as15B)是光滑曲线,x(,y(在a,B连续且x()+y2()≠0),且无自 y=y(1) 交点。若把公式中的积分上限B改为t,就得到曲线/,由端点M0到动点M(x()y(1)的一段弧长为 ∫VxO)+y( 由上限函数的可微性知s()存在,d(=.∥女 ds=√ax2+dhy2。 dt) dt §3体积 一般体积公式 设一几何体夹在x=a和x=b(a<x<b)这两个平行平面之间,用垂直于x轴的平面去截此几何体, 设载面与x轴交点为(x,0),可得的截面面积为A(x),如果A(x)是[ab]上的黎曼可积函数,则该几何体 的体积V等于 V= A(x)dx 例:求x2+y2=a2及x2+2=a2的体积V。 例:求由椭球面+12+=1所围的几何体体积(ab,c>0)。 二旋转体的体积 设y=f(x),f(x)20是一条连续曲线,曲线y=f(x),a≤x≤b绕x轴产生旋转体的截面积为A(x) (x),则 V= A(x)dx=ydx 例:求抛物线y=x2,0≤x≤1分别绕x轴和y轴所产生的旋转体体积。 s4旋转曲面的面积 设y=f(x)在[ab]上非负,且连续可微,该曲线绕x轴旋转后所得的旋转面的侧面积为 F=2∫y+y《数学分析（1，2，3）》教案 8-3 设 l ： ( ) ( ) x x t y y t  =   = （    t ）是光滑曲线，x t () ，y t () 在[  , ]连续且 2 x t  ( ) ＋ 2 y t  ( ) 0  ），且无自 交点。若把公式中的积分上限  改为 t ，就得到曲线 l ，由端点 M0 到动点 M x t y t ( ( ), ( )) 的一段弧长为 2 2 ( ) ( ) t s x t y t dt  = +    由上限函数的可微性知 s t '( ) 存在， 2 2 2 2 ds t dx dy ( ) ds dx dy dt dt dt     = +  = +         。 §3 体积 一 一般体积公式 设一几何体夹在 x a = 和 x b = （ a x b   ）这两个平行平面之间，用垂直于 x 轴的平面去截此几何体， 设载面与 x 轴交点为 ( x,0) ，可得的截面面积为 A x( ) ，如果 A x( ) 是 a b,  上的黎曼可积函数，则该几何体 的体积 V 等于 ( ) b a V A x dx =  。 例：求 2 2 2 x y a + = 及 2 2 2 x z a + = 的体积 V 。 例：求由椭球面 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = 所围的几何体体积 (abc , , 0  )。 二 旋转体的体积 设 y f x = ( ) ，f x( )  0 是一条连续曲线，曲线 y f x = ( ) ，a x b   绕 x 轴产生旋转体的截面积为 A x( ) ＝ 2  y x( ) ，则 V ＝ 2 ( ) b b a a A x dx y dx =    例：求抛物线 2 y x = ， 0 1  x 分别绕 x 轴和 y 轴所产生的旋转体体积。 §4 旋转曲面的面积 设 y f x = ( ) 在 a b,  上非负，且连续可微，该曲线绕 x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积为 2 2 1 b a F y y dx = +   