《数学分析(1,2,3)》教案 设平面曲线l由参数方程 ∫x=x() y=1)(a≤t≤B)给出,设P={o,4…,n}是[a,B]的一个划分 [6=a,Ln=B],即a=b0<1<…<Ln=B,它们在曲线/上所对应的点为M0=(x(t),y(0), M1=(x(1),y(4),…,Mn=(x(Ln)υ(n)。从端点M。开始用线段一次连接这些分点M,M1,…,M 得到曲线的一条内接折线,用M1M1来表示M/-1M的长度,则内接折线总长度为 s=∑M1M1=∑√x)-x0)2+0v()-y( 曲线/的弧长s定义为内接折线的总长在=max△1→>0时的极限: s=im∑MAM=lm∑(x()-=x(12)+0()-y( 如果s存在且为有限,则称l为可求长曲线。 弧长公式 设曲线l: x=x(1) y=y()(a≤t≤B,且x(),y(t)在a,B上可微且导数x(),y()在a,B上 可积,曲线l在[a,B]无自交点,则曲线l的弧长S为: (+y(0=J√+d 1)+y 注:其它形式的弧长公式 (1)设y=y(x)在[a]上可微且导数y(x)可积,则曲线y=y(x)(a≤x≤b)的弧长S为 S=√h4+y(x)dt (2)若曲线极坐标方程r=r(0),a≤b≤B,则当r(6)在[a,B上可微,且r(O)可积时, S 例:求圆周x= Rcost,y= Rsin t,0≤t≤2x的弧长s 例:求抛物线y 0≤x≤1的弧长s。 例3、求椭圆+,=1(b>a>0)的弧长s。 3、弧长的微分 8-2《数学分析（1，2，3）》教案 8-2 设平面曲线 l 由参数方程 ( ) ( ) x x t y y t  =   = （    t ）给出，设 0 1 { , , , } P t t t = n 是[  , ]的一个划分 [ 0 , n t t = =   ] ， 即 0 1 n   =    = t t t ，它们在曲线 l 上所对应的点为 0 0 0 M x t y t = ( ( ), ( )) ， 1 1 1 M x t y t = ( ( ), ( )) ，…， ( ( ), ( )) M x t y t n n n = 。从端点 M0 开始用线段一次连接这些分点 M0 ，M1 ，…， M n 得到曲线的一条内接折线，用 M Mi i −1 来表示 M Mi i −1 的长度，则内接折线总长度为 2 2 1 1 1 1 1 ' [( ( ) ( )] [( ( ) ( )] n n i i i i i i i i s M M x t x t y t y t − − − = = = = − + −   曲线 l 的弧长 s 定义为内接折线的总长在 max 0 i  = →t 时的极限： 2 2 1 1 1 0 0 1 1 lim lim [( ( ) ( )] [( ( ) ( )] n n i i i i i i i i s M M x t x t y t y t   − − − → → = = = = − + −   如果 s 存在且为有限，则称 l 为可求长曲线。 2、弧长公式 设曲线 l ： ( ) ( ) x x t y y t  =   = （    t ），且 xt() ， yt() 在[  , ]上可微且导数 x t () ， y t () 在[  , ]上 可积，曲线 l 在[  , ]无自交点，则曲线 l 的弧长 s 为： 2 2 2 2 S x t y t dt dx dy ( ) ( )     = + = +     注：其它形式的弧长公式 （1）设 y y x = ( ) 在 a b,  上可微且导数 y x ( ) 可积，则曲线 y y x = ( ) （ a x b   ）的弧长 s 为： 1 ( ) b a S y x dx = +   。 （2）若曲线极坐标方程 r r = ( )  ，     ，则当 r( )  在[  , ]上可微，且 r ( )  可积时， 2 2 S r r d   = +    。 例：求圆周 x R t = cos ， y R t = sin ，0 2  t  的弧长 s 。 例：求抛物线 2 y x = ， 0 1  x 的弧长 s 。 例 3、求椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = （ b a   0 ）的弧长 s 。 3、弧长的微分