《数学分析(1,2,3)》教案 第十章定积分的应用 §1平面图形的面积 如果一块图形是由连续曲线y=f(x),y=f1(x)以及x=a,x=b(a<b)所围成,那么这块图形 的面积的计算公式为 S=(x)-Jgx)=0(x)-g(x)。 例:求y=x2,x=y2所围的面积S 例:求y=sinx+1,y=cosx在D,2x]上所围图形的面积。 若所给的曲线方程为参数形式:x=x() (a≤t≤B),其中y()是连续函数,x()是连续可微 Nt 函数,且x(1)20且x(a)=a,x(B)=b,那么由 ∫x=x) x轴及直线x=a,x=b所围图形的面积S y=y(1) 的公式为 S=lyldx(t)(a<B)o 例 求旋轮线:x=a-sin) (a>0)一个拱与x轴所围的图形的面积 y=a(I-cost) 例:求椭圆 (a>0,b>0)的面积S sin t 设曲线的极坐标方程是:r=r(0),a≤b≤B,r(0)∈CIa,,则由曲线r=r(0),射线b=a及 =B所围的扇形面积S等于 S 2 例:求双纽线r2=2a2cos2所围图形面积S。 例:求由r=sin2,0≤b≤2n,所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积S §2曲线的弧长 1、先建立曲线的长度(弧长)的概念 条线段的长度可直接度量,但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量,因此需用不同的方法来求《数学分析（1，2，3）》教案 8-1 第十章 定积分的应用 §1 平面图形的面积 如果一块图形是由连续曲线 y f x = 1 ( ) ， y f x = 2 ( ) 以及 x a = ， x b a b =  ( )) 所围成，那么这块图形 的面积的计算公式为 ( ) ( ) [ ( ) ( )] b b b a a a S f x dx g x dx f x g x dx = − = −    。 例：求 2 y x = ， 2 x y = 所围的面积 S 。 例：求 y x = + sin 1， y x = cos 在 [0,2 ]  上所围图形的面积。 若所给的曲线方程为参数形式： ( ) ( ) x x t y y t  =   = （    t ），其中 y t( ) 是连续函数， x t( ) 是连续可微 函数，且 x t ( ) 0  且 x a ( )  = ， x b ( )  = ，那么由 ( ) ( ) x x t y y t  =   = ， x 轴及直线 x a x b = = , 所围图形的面积 S 的公式为 S y dx t | | ( )   =  （    ）。 例：求旋轮线： ( ) ( sin ) 0 (1 cos ) x a t t a y a t  = −    = − 一个拱与 x 轴所围的图形的面积。 例：求椭圆 cos sin x a t y b t  =   = （ a  0，b  0 ）的面积 S 。 设曲线的极坐标方程是： r r = ( )  ，     ， r C ( ) [ , ]     ，则由曲线 r r = ( )  ，射线  = 及   = 所围的扇形面积 S 等于 1 2 ( ) 2 S r d   =    。 例：求双纽线 2 2 r a = 2 cos 2 所围图形面积 S 。 例：求由 2 sin 3 r  = ， 0 2     ，所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积 S 。 §2 曲线的弧长 1、先建立曲线的长度（弧长）的概念 一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求