2004年考硕数学(二)真题评注 一.填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)设f(x)=1im(1),则(x)的间断点为x=0 n→>∞nx2+1 【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x,先用求极限的方法得出 f(x)的表达式,再讨论f(x)的间断点 【详解】显然当x=0时,f(x)=0 当x≠0时,f(x)=lim n→nx2+1n→ 0.x=0 所以f(x)={1 x≠0 因为imf(x)=1m1=≠/f0 故x=0为f(x)的间断点 【评注】本题为常规题型,类似例题见《题型集粹与练习题集》P21【例1.36】 x=t3+3t+1 (2)设函数y(x)由参数方程 确定,则曲线y=y(x)向上凸的x取值范围为 (-∞,1)(或(-∞,1]) 【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性,先用由 x=x(1) y=y(o 定义的dy=y1(0x(o)-x(o0(求出二阶导数,再由4y<0确定x的取值范围 dy 【详解】 dx dx 342+3 (2+1 (+1 dt dy d ddt 2 d2dh(a=(r2+1)3(2+1)-3x2+1 令 <0 又x=r3+3+1单调增,在t<0时,x∈(-∞,1)。(∵:t=0时,x=1→x∈(-∞,1时,曲线凸)2004 年考硕数学（二）真题评注 一. 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上. ） （1）设 2 ( 1) ( ) lim n 1 n x f x → nx − = + , 则 f x( ) 的间断点为 x = 0 . 【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的 x ,先用求极限的方法得出 f x( ) 的表达式, 再讨论 f x( ) 的间断点. 【详解】显然当 x = 0 时, f x( ) 0 = ; 当 x  0 时, 2 2 2 1 (1 ) ( 1) 1 ( ) lim lim n n 1 1 x n x x n f x nx x x x n → → − − = = = = + + , 所以 f x( ) 0, 0 1 , 0 x x x  =  =     , 因为 0 0 1 lim ( ) lim (0) x x f x f → → x = =   故 x = 0 为 f x( ) 的间断点. 【评注】本题为常规题型,类似例题见《题型集粹与练习题集》P21【例 1.36】 （2）设函数 y x( ) 由参数方程 3 3 3 1 3 1 x t t y t t  = + +   = − + 确定, 则曲线 y y x = ( ) 向上凸的 x 取值范围为 （ ，）（或（- ，1] ） −  1 . 【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ( ) ( ) x x t y y t  =   = 定义的 2 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) d y y t x t x t y t dx x t     − =  求出二阶导数,再由 2 2 0 d y dx  确定 x 的取值范围. 【详解】 2 2 2 2 2 3 3 1 2 1 3 3 1 1 dy dy t t dt dx t t t dx dt − − = = = = − + + + , 2 2 2 2 2 3 2 1 4 1 1 3( 1) 3( 1) d y d dy dt t dx t t t dt dx dx      = = −  =         + + + , 令 2 2 0 d y dx   t  0. 又 3 x t t = + + 3 1 单调增, 在 t  0时, x − ( ,1)。( t = 0时， x =1 x( ,1] − 时，曲线凸.)